Visualización del Modelo de Ising

Transiciones de Fase y Fenómenos Críticos en Mecánica Estadística - Simulación Monte Carlo Interactiva

Wilhelm Lenz (1920) · Ernst Ising (1925) · Lars Onsager (1944)

Temperatura (T) 2.27
T/Tc 1.00
Energía E -1.50
Magnetización |M| 0.85
Pasos Monte Carlo 0

Controles de Simulación

Baja 2.27 Alta
Temperatura Crítica Tc ≈ 2.269
-2.0 0.0 +2.0
Antiferro -1.0 1.0 Ferro +1.0
20 50 100
1 20 100

Evolución de Energía

Evolución de Magnetización

Teoría del Modelo de Ising

El modelo de Ising es uno de los modelos más icónicos en mecánica estadística, describiendo el comportamiento de interacción de espines en una red.

Hamiltoniano

H = -J Σ<ij> sᵢsⱼ - h Σᵢ sᵢ
  • sᵢ = ±1 - Dirección del espín (arriba/abajo)
  • J - Constante de acoplamiento (J>0 ferromagnético, J<0 antiferromagnético)
  • h - Intensidad del campo magnético externo
  • Σ<ij> - Suma sobre espines vecinos más cercanos

Hitos

  • 1920 - Wilhelm Lenz propone el modelo
  • 1925 - Ernst Ising resuelve el caso 1D (sin transición de fase)
  • 1944 - Lars Onsager resuelve exactamente el caso 2D (descubre transición de fase)

Fenómenos de Transición de Fase

Temperatura Crítica

Tc = 2/ln(1+√2) ≈ 2.269

Cerca de la temperatura crítica, el sistema experimenta una transición de estado ordenado a desordenado.

Tres Regímenes

Baja Temperatura T < Tc

Fase ferromagnética ordenada. Ruptura espontánea de simetría, la mayoría de espines apuntan en la misma dirección, magnetización |M| > 0.

Punto Crítico T ≈ Tc

Fluctuaciones críticas. Aparecen clústeres a gran escala, enlentecimiento crítico, susceptibilidad magnética diverge.

Alta Temperatura T > Tc

Fase paramagnética desordenada. Espines orientados aleatoriamente, magnetización promedio M = 0.

Algoritmo de Metropolis-Hastings

Usando métodos Monte Carlo para simular el comportamiento termodinámico del sistema.

Pasos del Algoritmo

  1. Seleccionar aleatoriamente un espín sᵢ
  2. Calcular el cambio de energía ΔE si se voltea
  3. Si ΔE ≤ 0, aceptar el volteo
  4. Si ΔE > 0, aceptar con probabilidad exp(-ΔE/kT)
  5. Repetir N×N veces para un paso Monte Carlo

Probabilidad de Aceptación

P(accept) = min(1, e^(-ΔE/kT))
Nota: Cerca del punto crítico, el sistema exhibe el fenómeno de 'enlentecimiento crítico', con convergencia significativamente más lenta. El algoritmo de Wolff (volteo de clústeres) puede usarse para acelerar.

Guía de Observación

Ferromagnetismo Baja T (T < 2.0)

Establecer T ≈ 1.5, observar grandes regiones del mismo color. Este es el estado ordenado ferromagnético con ruptura espontánea de simetría.

Fluctuaciones Críticas (T ≈ 2.27)

Establecer T = 2.27, observar formación y muerte de clústeres a gran escala. ¡Esta es la región más interesante!

Paramagnetismo Alta T (T > 3.0)

Establecer T ≈ 4.0, observar volteos aleatorios de espines. Este es el estado paramagnético desordenado.

Efecto de Campo Externo

Ajustar el campo externo h, observar sesgo en la dirección del espín. h > 0 favorece arriba, h < 0 favorece abajo.

Fase Antiferromagnética (J < 0)

Establecer J = -1.0, se forma un estado ordenado antiferromagnético tipo franja a baja temperatura.

Comprensión Interactiva de Fórmulas

H

Energía Total

El Hamiltoniano del sistema, representando la energía total. El sistema tiende hacia el estado de energía más baja.

-J Σ sᵢsⱼ

Término de Interacción

Energía de interacción de espines vecinos más cercanos. J > 0: misma dirección tiene menor energía (ferromagnético); J < 0: dirección opuesta tiene menor energía (antiferromagnético).

-h Σ sᵢ

Término de Campo Externo

Energía del campo externo actuando sobre espines. h > 0: espines hacia arriba tienen menor energía; h < 0: espines hacia abajo tienen menor energía.