El Conjunto de Mandelbrot
Un fractal definido por el polinomio cuadrático complejo z_{n+1} = z_n² + c, donde z_0 = 0. Los puntos que permanecen acotados bajo iteración forman el conjunto.
Fórmula: z_{n+1} = z_n² + c
La auto-similitud aparece en todas las escalas al hacer zoom en el borde.
Conjuntos de Julia
Para cada constante compleja c, el conjunto de Julia J_c consiste en puntos z_0 cuyas órbitas permanecen acotadas bajo z_{n+1} = z_n² + c.
Conectividad: El conjunto de Julia es conexo si c está en el conjunto de Mandelbrot, de lo contrario es un conjunto de Cantor.
Helecho de Barnsley
Un sistema de funciones iteradas (IFS) que genera un fractal tipo helecho. Cada punto se transforma mediante una de cuatro transformaciones afines elegidas probabilísticamente.
Transformaciones:
x_{n+1} = 0, y_{n+1} = 0.16y_n
x_{n+1} = 0.85x_n + 0.04y_n, y_{n+1} = -0.04x_n + 0.85y_n + 1.6
x_{n+1} = 0.20x_n - 0.26y_n, y_{n+1} = 0.23x_n + 0.22y_n + 1.6
x_{n+1} = -0.15x_n + 0.28y_n, y_{n+1} = 0.26x_n + 0.24y_n + 0.44
Árbol Fractal (Árbol de Pitágoras)
Un fractal construido añadiendo recursivamente ramas más pequeñas a cada miembro, demostrando auto-similitud y crecimiento exponencial.
Número de ramas: N = 2^{profundidad+1} - 2
Cada rama es una copia escalada de todo el árbol.
Dimensión de Conteo de Cajas
Un método para estimar la dimensión fractal cubriendo el conjunto con cajas de tamaño ε y contando cuántas cajas N(ε) contienen parte del fractal.
Resultados:
D = lim_{ε→0} (log N(ε) / log(1/ε))
La pendiente de log(N) vs log(1/ε) da la dimensión fractal.