Parametros
Tipo de caminata aleatoria
Condicion inicial
Acciones
Opciones de visualizacion
Preajustes
Velocidad de animacion
30 FPSPosicion media ⟨x⟩
Desplazamiento cuadratico medio ⟨x²⟩
Coeficiente de difusion D
Varianza σ²
Distribucion de posiciones
Desplazamiento cuadratico medio vs tiempo
Analisis matematico
Distribucion del desplazamiento
P(x,t) = (4πDt)^(-1/2) × exp(-x²/4Dt)
Distribucion gaussiana con varianza 2Dt
Relacion de Einstein
⟨x²⟩ = 2Dt
El desplazamiento cuadratico medio crece linealmente con el tiempo
Movimiento browniano geometrico
dS = μS dt + σS dW_t
S_t = S_0 × exp((μ - σ²/2)t + σW_t)
Modelo de precios de acciones (Black-Scholes)
Caminata aleatoria simple
S_{n+1} = S_n + ξ_n, ξ_n ∈ {-1, +1}
Var(S_n) = n
La version discreta converge al movimiento browniano
Propiedades del proceso de Wiener
- W₀ = 0 (comienza en el origen)
- Incrementos independientes
- Wₜ - Wₛ ~ N(0, t-s)
- Trayectorias continuas (casi seguro)
Ley de escala
x ~ √t (diffusion scaling)
Para duplicar el desplazamiento, se necesita 4 veces mas tiempo
Del polen a los precios de las acciones
El descubrimiento de Robert Brown
El botanico escoces Robert Brown observo el movimiento irregular de granos de polen en agua bajo el microscopio. Primero penso que se trataba de una fuerza vital, pero despues vio lo mismo en particulas inorganicas.
La tesis de Bachelier
Louis Bachelier desarrollo una teoria de las fluctuaciones de precios mediante caminatas aleatorias cinco anos antes que Einstein. Su trabajo sento las bases de las finanzas matematicas.
La teoria de Einstein
Albert Einstein explico el movimiento browniano mediante la teoria cinetica, derivo la ecuacion de difusion y obtuvo la relacion ⟨x²⟩ = 2Dt. Esto aporto evidencia crucial a la teoria atomica.
⟨x²⟩ = 2Dt = (k_B T / 3πηr) × t
Los experimentos de Perrin
Jean Perrin realizo experimentos precisos que verificaron las predicciones de Einstein y le dieron el Nobel de 1926. Sus resultados convencieron a muchos escepticos de la existencia de los atomos.
La formalizacion matematica de Wiener
Norbert Wiener dio una base matematica rigurosa al movimiento browniano al construir la medida de Wiener y demostrar propiedades de las trayectorias. Esto fue central para el calculo estocastico.
La formula de Black-Scholes
Fisher Black, Myron Scholes y Robert Merton desarrollaron la formula de valoracion de opciones con movimiento browniano geometrico y transformaron los mercados financieros.
C = S·N(d₁) - K·e^(-rT)·N(d₂)
Fundamento matematico
1. Caminata aleatoria simple (discreta)
El proceso aleatorio mas simple: en cada paso se avanza ±1 con igual probabilidad.
S_0 = 0, S_{n+1} = S_n + ξ_n
P(ξ_n = +1) = P(ξ_n = -1) = 0.5
E[S_n] = 0, Var(S_n) = n
Despues de n pasos, el desplazamiento tipico escala como √n.
2. Limite continuo (escalado)
Se toman muchos pasos pequenos con tamano ε y paso temporal δ manteniendo ε²/δ = 2D constante.
lim_{n→∞} S_{[nt]} / √n → W_t (Wiener process)
Por el teorema central del limite, el proceso converge a una gaussiana.
3. Movimiento browniano (proceso de Wiener)
Proceso estocastico en tiempo continuo con incrementos gaussianos.
W_0 = 0
W_t - W_s ~ N(0, t-s) for t > s
Independent increments: W_t - W_s ⊥ W_s
Continuous paths (almost surely)
Sus trayectorias son continuas pero no diferenciables.
4. Ecuacion de difusion (Fokker-Planck)
La densidad de probabilidad evoluciona segun la ecuacion del calor.
∂P/∂t = D ∂²P/∂x²
P(x,t) = (4πDt)^(-1/2) × exp(-x²/4Dt)
La solucion es una gaussiana con varianza 2Dt.
5. Calculo de Itô (integracion estocastica)
Los procesos con ruido browniano requieren un nuevo calculo.
dX_t = μ dt + σ dW_t
Itô Lemma: df(X,t) = f_x dX + (1/2)f_xx σ² dt + f_t dt
(dW_t)² = dt (quadratic variation)
El termino de segundo orden importa porque (dWₜ)² = dt.
6. Movimiento browniano geometrico
Modelo para precios de acciones con valores positivos y distribucion lognormal.
dS/S = μ dt + σ dW_t
S_t = S_0 × exp((μ - σ²/2)t + σW_t)
E[S_t] = S_0 e^{μt}
Var(S_t) = S_0² e^{2μt}(e^{σ²t} - 1)
log(Sₜ/S₀) sigue una distribucion normal.
Aplicaciones financieras
Por que usar movimiento browniano geometrico para acciones?
- Los precios permanecen positivos gracias a la forma exponencial.
- Se modelan los rendimientos, no los precios, como cantidades aditivas e independientes.
- La distribucion lognormal suele aproximar bien muchos datos empiricos.
- El modelo es lo bastante simple para obtener soluciones analiticas.
Deriva μ frente a volatilidad σ
μ representa la rentabilidad esperada o tendencia, y σ mide aleatoriedad y riesgo.
Un σ alto implica mayores oscilaciones de precio y mayor prima de riesgo.
Un μ alto implica una tendencia alcista mas fuerte y mayores rendimientos esperados.
Valoracion de opciones Black-Scholes
Una opcion call europea da derecho a comprar una accion al precio de ejercicio K en el tiempo T.
C = S·N(d₁) - K·e^(-rT)·N(d₂)
d₁ = [ln(S/K) + (r + σ²/2)T] / (σ√T)
d₂ = d₁ - σ√T
N(·) es la CDF normal estandar. La idea clave es construir una cobertura libre de riesgo.
Valoracion neutral al riesgo
En mercados completos, el precio es la esperanza descontada del pago bajo la medida neutral al riesgo.
Price = e^(-rT) × E_Q[Payoff]
Se sustituye la deriva real μ por la tasa libre de riesgo r.
Las griegas (medidas de riesgo)
- Δ (Delta): ∂Price/∂S (hedging ratio)
- Γ (Gamma): ∂²Price/∂S² (convexity)
- ν (Vega): ∂Price/∂σ (volatility sensitivity)
- Θ (Theta): ∂Price/∂T (time decay)
- ρ (Rho): ∂Price/∂r (interest rate sensitivity)
Simulacion Monte Carlo
Cuando no hay solucion analitica, se simulan muchas trayectorias aleatorias.
S_{i+1} = S_i × exp((μ - σ²/2)dt + σ√dt·Z)
where Z ~ N(0,1)
Esta visualizacion utiliza ese metodo para simular trayectorias.
Laboratorio virtual
Experimento 1: Verificar la relacion de Einstein
Comprueba si ⟨x²⟩ = 2Dt se cumple en la simulacion.
- Fija D = 1.0 y dt = 0.01.
- Comienza con 50 particulas en el origen.
- Ejecuta hasta T = 10.0 (1000 pasos).
- Consulta la pendiente de regresion en la grafica de MSD.
- Pendiente esperada: 2D = 2.0.
Experimento 2: Teorema central del limite
Observa como aparece una distribucion gaussiana a partir de pasos simples ±1.
- Selecciona caminata aleatoria simple.
- Usa 100 particulas en el origen.
- Observa el histograma tras 100, 500 y 1000 pasos.
- Comparalo con la curva gaussiana teorica.
Experimento 3: Efecto de la deriva
Como cambia la distribucion cuando hay deriva constante?
- Fija μ = 0.5 y D = 1.0.
- Ejecuta la simulacion y observa ⟨x⟩.
- Resultado esperado: ⟨x⟩ = μt.
- La varianza sigue siendo 2Dt; la deriva desplaza el centro pero no ensancha la distribucion.
Experimento 4: Simulacion de precio de accion
Compara distintos escenarios de mercado.
- Cambia al modo Finanzas.
- Prueba distintas combinaciones de μ y σ.
- Mercado alcista: μ = 0.15, σ = 0.2.
- Mercado bajista: μ = -0.05, σ = 0.3.
- Observa la probabilidad de ganancia frente a perdida.
Experimento 5: Valoracion de opciones
Comprende Black-Scholes mediante simulacion.
- Define S₀ = 100, K = 100 y T = 1 ano.
- Simula 1000 trayectorias de precio.
- Calcula el payoff call max(Sₜ - K, 0).
- Promedia y descuenta: e^(-rT) × E[payoff].
- Compara con la formula de Black-Scholes.