Modelo Sigma Lineal

Explore la Ruptura Espontánea de Simetría, el Teorema de Goldstone y el Mecanismo de Higgs

Estado de Simetría O(n) 对称
Valor Esperado del Vacío v 0.0
Masa del Higgs m_σ 1.0
Bosones de Goldstone 0

Parámetros del Modelo

Opciones de Visualización

Fase de Simetría

Fórmula Actual

V(Φ) = (λ/4)(Φ² - v²)²

Potencial de Sombrero Mexicano

Cuando v > 0, el potencial forma una forma de 'sombrero mexicano'. Cualquier punto en la circunferencia es un estado base, y esta degeneración continua lleva a la aparición de bosones de Goldstone.

Espacio de Configuración del Campo

El campo Φ toma valores en un espacio interno n-dimensional. La simetría O(n) asegura que el potencial dependa solo de |Φ|² = ΦᵀΦ. El valor esperado del vacío ⟨Φ⟩ indica la dirección de la ruptura espontánea de simetría.

Espectro de Masas de Partículas

¿Qué es el Modelo Sigma Lineal?

El Modelo Sigma Lineal es el modelo de juguete más simple para entender la ruptura espontánea de simetría y el mecanismo de Higgs. Consiste en n campos escalares reales con simetría global O(n). Ajustando parámetros, se puede transitar de la fase simétrica a la fase rota, observando la generación de bosones de Goldstone y la masa del modo de Higgs.

Conceptos Clave

Simetría O(n)

Los campos escalares reales n-dimensionales son invariantes bajo transformaciones ortogonales. El grupo O(n) tiene n(n-1)/2 generadores, correspondiendo a n(n-1)/2 cargas conservadas.

Ruptura Espontánea de Simetría

Cuando v ≠ 0, el estado de vacío no preserva la simetría original. El sistema elige una dirección específica de vacío, llevando a la ruptura O(n) → O(n-1).

Teorema de Goldstone

Cada simetría continua rota produce un bosón de Goldstone sin masa. Hay n-1 modos de Goldstone oscilando en la variedad de vacío.

Modo de Higgs

El campo radial σ adquiere masa m_σ = √(2λ)v, la única excitación masiva del sistema, correspondiendo a la partícula de Higgs.

Lagrangiano

$$\mathcal{L} = \frac{1}{2}(\partial_\mu\Phi)^T(\partial^\mu\Phi) - \frac{\lambda}{4}(\Phi^T\Phi - v^2)^2$$

Término cinético: 1/2(∂_μΦ)^T(∂^μΦ) describe la dinámica de n campos escalares reales no acoplados

Término de potencial: V(Φ) = λ/4(Φ^TΦ - v²)² tiene simetría O(n), formando una forma de sombrero mexicano cuando v > 0

Mecanismo de Ruptura de Simetría

O(n)
Fase Simétrica (v = 0)
  • n campos degenerados con masa m = √(λ)v
  • Vacío en el origen, único y simétrico
  • Simetría O(n) completamente preservada
→
O(n-1)
Fase Rota (v > 0)
  • 1 campo de Higgs masivo con m_σ = √(2λ)v
  • n-1 bosones de Goldstone sin masa
  • Vacío en círculo/esfera con |Φ| = v

Descomposición del Campo

En la fase rota, descomponga el campo en modo de Higgs radial y modos de Goldstone transversales:

$$\Phi = \begin{pmatrix} \pi_1 \\ \pi_2 \\ \vdots \\ \pi_{n-1} \\ v + \sigma \end{pmatrix}$$

Campo σ (Modo de Higgs)

Oscila radialmente, restaurando el radio de equilibrio, masa m_σ = √(2λ)v

Campos π (Modos de Goldstone)

Oscila tangencialmente en la variedad de vacío, sin fuerza restauradora, m_π = 0

Acoplamiento a Campos de Gauge

Cuando el modelo sigma lineal se acopla a campos de gauge, los bosones de Goldstone se convierten en la polarización longitudinal de los bosones de gauge. Este es el mecanismo de Higgs:

$$\mathcal{L}_{\text{gauge}} = \frac{1}{2}(D_\mu\Phi)^T(D^\mu\Phi) - V(\Phi) - \frac{1}{4}F_{\mu\nu}^a F^{\mu\nu}_a$$

donde D_μ = ∂_μ + g A_μ^a T^a es la derivada covariante. En gauge unitario, los campos π son 'comidos' y A_μ^a adquieren masa m_A = gv.

Historia y Aplicaciones

1960
Yoichiro Nambu propone la ruptura espontánea de simetría para explicar la casi ausencia de masa de los piones
1961
Teorema de Goldstone: La ruptura espontánea de simetría continua produce necesariamente bosones sin masa
1964
Higgs, Englert/Brout y Guralnik/Hagen/Kibble proponen independientemente el mecanismo de Higgs
1967-68
Modelo Weinberg-Salam: Aplica el mecanismo de Higgs a la unificación electrodébil
2012
El LHC descubre el bosón de Higgs, confirmando el mecanismo de Higgs del Modelo Estándar

Aplicaciones Físicas

  • Física de Partículas: Sector de Higgs del Modelo Estándar, explicando el origen de las masas de bosones W/Z y fermiones
  • Materia Condensada: Teoría de Ginzburg-Landau de superfluidez y superconductividad, transiciones de fase ferromagnéticas
  • Cosmología: Transiciones de fase de ruptura de simetría en el universo temprano, pueden producir defectos cosmológicos
  • Física Nuclear: Piones como bosones de Goldstone aproximados en teoría de perturbaciones quirales