Perkolation Phasenuebergang

Ueber den Perkolation-Phasenuebergang

Die Perkolationstheorie untersucht das Entstehen verbundener Cluster in zufaelligen Gittern. Auf einem 2D-Quadratgitter wird jeder Platz unabhaengig mit Wahrscheinlichkeit p besetzt. Unterhalb des kritischen Schwellenwerts p_c (etwa 0.5927 fuer Platzperkolation auf einem Quadratgitter) existieren nur kleine endliche Cluster. Bei p_c durchlaeuft das System einen kontinuierlichen Phasenuebergang: Ein riesiger verbundener Cluster entsteht ploetzlich und bildet einen ueberspannenden Pfad von oben nach unten.

Wichtige Observablen umfassen die Uberspannungswahrscheinlichkeit P_inf(p), die nahe p_c von 0 auf 1 springt; die durchschnittliche Cluster-Groesse, die am kritischen Punkt divergiert; und die Cluster-Groessenverteilung n(s), die bei p_c einem Potenzgesetz n(s) ~ s^(-tau) folgt mit tau = 187/91 in 2D. Dieser kritische Exponent tau ist universell -- er haengt nur von der raeumlichen Dimension ab, nicht von den Gitterdetails.

Perkolationsmodelle erscheinen in Wissenschaft und Technik: Waldbbrandausbreitung (kann Feuer den Wald durchqueren?), Materialleitfaehigkeit (bilden sich leitfaehige Pfade in einem Verbundwerkstoff?), Erdoelfoerderung (kann Wasser durch Gesteinsporen stroemen?), Netzwerkresilienz (bleibt das Internet verbunden wenn Router ausfallen?) und Epidemieschwellen.

Verwenden Sie den Schieberegler fuer Besetzungswahrscheinlichkeit, um die Fuellrate des Gitters zu steuern. Beobachten Sie die dramatische visuelle Veraenderung, wenn p den kritischen Schwellenwert bei etwa 0.593 ueberschreitet. Der Uberspannungsindikator zeigt, ob ein verbundener Pfad von oben nach unten existiert. Probieren Sie die Voreinstellungen: Unterkritisch (p=0.4) zeigt isolierte Cluster, Nah am Kritischen (p=0.593) zeigt den fraktalen Uebergang, Ueberkritisch (p=0.7) zeigt ein dominierendes ueberspannendes Cluster.