Lyapunov-Exponent

Quantifizierung der Divergenz oder Konvergenz von Trajektorien in chaotischen Systemen

Ergebnisse

Lyapunov-Exponent λ: --
Systemzustand: --
λ = lim→∞ (1/t) · ln(|δx(t)/δx(0)|)

Was ist der Lyapunov-Exponent?

Der Lyapunov-Exponent ist eine wichtige Metrik zur Quantifizierung der Empfindlichkeit von Trajektorien gegenüber Anfangsbedingungen in dynamischen Systemen. Er beschreibt die durchschnittliche exponentielle Rate, mit der sich benachbarte Trajektorien im Phasenraum im Laufe der Zeit trennen.

Mathematische Formel

λ = limt→∞ (1/t) · ln(|δx(t)/δx(0)|)
  • λ: Lyapunov-Exponent, repräsentiert die durchschnittliche Rate der Trajektorientrennung
  • δx(t): Trennungsentfernung zwischen zwei Trajektorien zum Zeitpunkt t
  • δx(0): Anfängliche Trennungsentfernung zwischen zwei Trajektorien

Interpretation

λ > 0: Chaotisches System

Trajektorien divergieren exponentiell und zeigen extreme Empfindlichkeit gegenüber Anfangsbedingungen. Sogar winzige Unterschiede in den Anfangsbedingungen führen zu schnell trennenden Trajektorien und zeigen den 'Schmetterlingseffekt'.

Typische Systeme: Logistische Abbildung (r > 3.57), Lorenz-System, Rossler-System

λ ≤ 0: Stabiles System

Trajektorien konvergieren oder zeigen periodische Bewegung. Benachbarte Trajektorien divergieren nicht, und das System ist vorhersagbar.

Typische Systeme: Gedämpfter harmonischer Oszillator, auf Fixpunkte konvergierende Abbildungen, periodische Orbits

Anwendungen

Berechnungsmethode

Für diskrete Abbildungen x(n+1) = f(x(n)) kann der Lyapunov-Exponent durch folgendes angenähert werden:

λ ≈ (1/N) · Σ ln(|f'(xi)|)

Wobei N die Anzahl der Iterationen ist und f'(x) die Ableitung der Abbildungsfunktion.