Ising-Modell-Visualisierung

Phasenübergänge und Kritische Phänomene in der Statistischen Mechanik - Interaktive Monte-Carlo-Simulation

Wilhelm Lenz (1920) · Ernst Ising (1925) · Lars Onsager (1944)

Temperatur (T) 2.27
T/Tc 1.00
Energie E -1.50
Magnetisierung |M| 0.85
Monte-Carlo-Schritte 0

Simulationssteuerungen

Niedrig 2.27 Hoch
Kritische Temperatur Tc ≈ 2.269
-2.0 0.0 +2.0
Antiferro -1.0 1.0 Ferro +1.0
20 50 100
1 20 100

Energieentwicklung

Magnetisierungsentwicklung

Ising-Modell-Theorie

Das Ising-Modell ist eines der ikonischsten Modelle der statistischen Mechanik und beschreibt das Wechselwirkungsverhalten von Spins auf einem Gitter.

Hamiltonian

H = -J Σ<ij> sᵢsⱼ - h Σᵢ sᵢ
  • sᵢ = ±1 - Spinrichtung (hoch/runter)
  • J - Kopplungskonstante (J>0 ferromagnetisch, J<0 antiferromagnetisch)
  • h - Stärke des externen Magnetfelds
  • Σ<ij> - Summe über nächste Nachbar-Spins

Meilensteine

  • 1920 - Wilhelm Lenz schlägt das Modell vor
  • 1925 - Ernst Ising löst den 1D-Fall (kein Phasenübergang)
  • 1944 - Lars Onsager löst exakt den 2D-Fall (entdeckt Phasenübergang)

Phasenübergangsphänomene

Kritische Temperatur

Tc = 2/ln(1+√2) ≈ 2.269

In der Nähe der kritischen Temperatur durchläuft das System einen Übergang vom geordneten zum ungeordneten Zustand.

Drei Regime

Niedrige Temperatur T < Tc

Ferromagnetische geordnete Phase. Spontaner Symmetriebruch, die meisten Spins zeigen in die gleiche Richtung, Magnetisierung |M| > 0.

Kritischer Punkt T ≈ Tc

Kritische Fluktuationen. Große Cluster entstehen, kritische Verlangsamung, magnetische Suszeptibilität divergiert.

Hohe Temperatur T > Tc

Paramagnetische ungeordnete Phase. Spins zufällig orientiert, mittlere Magnetisierung M = 0.

Metropolis-Hastings-Algorithmus

Verwendung von Monte-Carlo-Methoden zur Simulation des thermodynamischen Verhaltens des Systems.

Algorithmusschritte

  1. Zufällig einen Spin sᵢ auswählen
  2. Energieänderung ΔE berechnen wenn umgedreht
  3. Wenn ΔE ≤ 0, Umdrehung akzeptieren
  4. Wenn ΔE > 0, mit Wahrscheinlichkeit exp(-ΔE/kT) akzeptieren
  5. N×N mal wiederholen für einen Monte-Carlo-Schritt

Akzeptanzwahrscheinlichkeit

P(accept) = min(1, e^(-ΔE/kT))
Hinweis: In der Nähe des kritischen Punkts zeigt das System das Phänomen der 'kritischen Verlangsamung' mit deutlich langsamerer Konvergenz. Der Wolff-Algorithmus (Cluster-Umdrehung) kann zur Beschleunigung verwendet werden.

Beobachtungsleitfaden

T-Ferromagnetismus (T < 2.0)

T ≈ 1.5 einstellen, große Bereiche gleicher Farbe beobachten. Dies ist der ferromagnetische geordnete Zustand mit spontanem Symmetriebruch.

Kritische Fluktuationen (T ≈ 2.27)

T = 2.27 einstellen, Entstehung und Tod von Großclustern beobachten. Dies ist die interessanteste Region!

T-Paramagnetismus (T > 3.0)

T ≈ 4.0 einstellen, zufällige Spin-Umdrehungen beobachten. Dies ist der ungeordnete paramagnetische Zustand.

Externer Feldeffekt

Externes Feld h anpassen, Bias in Spinrichtung beobachten. h > 0 bevorzugt hoch, h < 0 bevorzugt runter.

Antiferromagnetische Phase (J < 0)

J = -1.0 einstellen, streifenförmiger antiferromagnetischer geordneter Zustand entsteht bei niedriger Temperatur.

Interaktives Formelverständnis

H

Gesamtenergie

Der Hamiltonian des Systems, repräsentiert die Gesamtenergie. System tendiert zum niedrigsten Energiezustand.

-J Σ sᵢsⱼ

Wechselwirkungsterm

Wechselwirkungsenergie der nächsten Nachbar-Spins. J > 0: gleiche Richtung hat niedrigere Energie (ferromagnetisch); J < 0: entgegengesetzte Richtung hat niedrigere Energie (antiferromagnetisch).

-h Σ sᵢ

Externes Feldterm

Energie des externen Felds, das auf Spins wirkt. h > 0: Spins nach oben haben niedrigere Energie; h < 0: Spins nach unten haben niedrigere Energie.