Die Mandelbrot-Menge
Ein Fraktal, definiert durch das komplexe quadratische Polynom z_{n+1} = z_n² + c, wobei z_0 = 0. Punkte, die unter Iteration beschränkt bleiben, bilden die Menge.
Formel: z_{n+1} = z_n² + c
Selbstähnlichkeit erscheint in allen Maßstäben beim Zoomen in den Rand.
Julia-Mengen
Für jede komplexe Konstante c besteht die Julia-Menge J_c aus Punkten z_0, deren Bahnen unter z_{n+1} = z_n² + c beschränkt bleiben.
Zusammenhang: Die Julia-Menge ist zusammenhängend, wenn c in der Mandelbrot-Menge liegt, sonst ist es eine Cantor-Menge.
Barnsley-Farn
Ein iteriertes Funktionensystem (IFS), das einen farnartigen Fraktal erzeugt. Jeder Punkt wird durch eine von vier affinen Transformationen transformiert, die probabilistisch gewählt werden.
Transformationen:
x_{n+1} = 0, y_{n+1} = 0.16y_n
x_{n+1} = 0.85x_n + 0.04y_n, y_{n+1} = -0.04x_n + 0.85y_n + 1.6
x_{n+1} = 0.20x_n - 0.26y_n, y_{n+1} = 0.23x_n + 0.22y_n + 1.6
x_{n+1} = -0.15x_n + 0.28y_n, y_{n+1} = 0.26x_n + 0.24y_n + 0.44
Fraktaler Baum (Pythagoras-Baum)
Ein durch rekursives Hinzufügen kleinerer Äste zu jedem Glied konstruierter Fraktal, der Selbstähnlichkeit und exponentielles Wachstum demonstriert.
Anzahl der Äste: N = 2^{tiefe+1} - 2
Jeder Ast ist eine skalierte Kopie des gesamten Baumes.
Box-Counting-Dimension
Eine Methode zur Schätzung der fraktalen Dimension durch Abdecken der Menge mit Boxen der Größe ε und Zählen wie viele Boxen N(ε) Teil des Fraktals enthalten.
Ergebnisse:
D = lim_{ε→0} (log N(ε) / log(1/ε))
Die Steigung von log(N) gegen log(1/ε) ergibt die fraktale Dimension.