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Typ des Random Walks
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30 FPSMittlere Position ⟨x⟩
Mittlere quadratische Verschiebung ⟨x²⟩
Diffusionskoeffizient D
Varianz σ²
Positionsverteilung
Mittlere quadratische Verschiebung gegen Zeit
Mathematische Analyse
Verschiebungsverteilung
P(x,t) = (4πDt)^(-1/2) × exp(-x²/4Dt)
Gauss-Verteilung mit Varianz 2Dt
Einstein-Beziehung
⟨x²⟩ = 2Dt
Die mittlere quadratische Verschiebung waechst linear mit der Zeit
Geometrische Brownsche Bewegung
dS = μS dt + σS dW_t
S_t = S_0 × exp((μ - σ²/2)t + σW_t)
Aktienpreismodell (Black-Scholes)
Einfacher Random Walk
S_{n+1} = S_n + ξ_n, ξ_n ∈ {-1, +1}
Var(S_n) = n
Die diskrete Version konvergiert gegen Brownsche Bewegung
Eigenschaften des Wiener-Prozesses
- W₀ = 0 (Start im Ursprung)
- Unabhaengige Inkremente
- Wₜ - Wₛ ~ N(0, t-s)
- Stetige Pfade (fast sicher)
Skalierungsgesetz
x ~ √t (diffusion scaling)
Um die Verschiebung zu verdoppeln, braucht man etwa 4-mal so viel Zeit
Von Pollen zu Aktienkursen
Robert Browns Entdeckung
Der schottische Botaniker Robert Brown beobachtete unter dem Mikroskop die unregelmaessige Bewegung von Pollenkörnern im Wasser. Zunaechst vermutete er eine Lebenskraft, spaeter zeigte sich dasselbe Verhalten auch bei anorganischen Teilchen.
Bacheliers Dissertation
Louis Bachelier entwickelte fuenf Jahre vor Einstein eine Theorie der Aktienkursschwankungen mit Random Walks. Seine Arbeit legte die Grundlage der mathematischen Finanztheorie.
Einsteins Theorie
Albert Einstein erklaerte die Brownsche Bewegung mit der kinetischen Theorie, leitete die Diffusionsgleichung her und fand die Beziehung ⟨x²⟩ = 2Dt. Das war ein wichtiger Beleg fuer die Atomtheorie.
⟨x²⟩ = 2Dt = (k_B T / 3πηr) × t
Perrins Experimente
Jean Perrin bestaetigte Einsteins Vorhersagen mit praezisen Experimenten und erhielt dafuer 1926 den Nobelpreis. Seine Resultate ueberzeugten viele verbliebene Skeptiker von der Existenz der Atome.
Wieners mathematische Formalisierung
Norbert Wiener gab der Brownschen Bewegung ein rigoroses mathematisches Fundament, indem er das Wiener-Mass konstruierte und Eigenschaften der Pfade bewies. Das wurde zentral fuer die stochastische Analysis.
Black-Scholes-Formel
Fisher Black, Myron Scholes und Robert Merton entwickelten mit geometrischer Brownscher Bewegung die Optionspreisformel und veraenderten damit die modernen Finanzmaerkte grundlegend.
C = S·N(d₁) - K·e^(-rT)·N(d₂)
Mathematische Grundlage
1. Einfacher Random Walk (diskret)
Der einfachste Zufallsprozess: In jedem Schritt geht es mit gleicher Wahrscheinlichkeit um ±1 weiter.
S_0 = 0, S_{n+1} = S_n + ξ_n
P(ξ_n = +1) = P(ξ_n = -1) = 0.5
E[S_n] = 0, Var(S_n) = n
Nach n Schritten skaliert die typische Verschiebung wie √n.
2. Kontinuumslimes (Skalierung)
Man betrachtet viele kleine Schritte mit Schrittweite ε und Zeitschritt δ bei konstantem ε²/δ = 2D.
lim_{n→∞} S_{[nt]} / √n → W_t (Wiener process)
Nach dem zentralen Grenzwertsatz ergibt sich im Limes ein gausscher Prozess.
3. Brownsche Bewegung (Wiener-Prozess)
Ein kontinuierlicher stochastischer Prozess mit gausschen Inkrementen.
W_0 = 0
W_t - W_s ~ N(0, t-s) for t > s
Independent increments: W_t - W_s ⊥ W_s
Continuous paths (almost surely)
Die Pfade sind stetig, aber nirgends differenzierbar.
4. Diffusionsgleichung (Fokker-Planck)
Die Wahrscheinlichkeitsdichte entwickelt sich nach der Waermegleichung.
∂P/∂t = D ∂²P/∂x²
P(x,t) = (4πDt)^(-1/2) × exp(-x²/4Dt)
Die Loesung ist gaussf ormig mit Varianz 2Dt.
5. Itô-Kalkuel (stochastische Integration)
Prozesse mit Brownschem Rauschen erfordern eine neue Analysis.
dX_t = μ dt + σ dW_t
Itô Lemma: df(X,t) = f_x dX + (1/2)f_xx σ² dt + f_t dt
(dW_t)² = dt (quadratic variation)
Der Term zweiter Ordnung ist wichtig, weil (dWₜ)² = dt gilt.
6. Geometrische Brownsche Bewegung
Ein Aktienpreismodell mit positiven Werten und logarithmisch normaler Verteilung.
dS/S = μ dt + σ dW_t
S_t = S_0 × exp((μ - σ²/2)t + σW_t)
E[S_t] = S_0 e^{μt}
Var(S_t) = S_0² e^{2μt}(e^{σ²t} - 1)
log(Sₜ/S₀) ist normalverteilt.
Finanzanwendungen
Warum geometrische Brownsche Bewegung fuer Aktien?
- Durch die Exponentialform bleiben Preise immer positiv.
- Modelliert werden Renditen und nicht direkt Preise als additive und unabhaengige Groessen.
- Die Lognormalverteilung ist oft eine brauchbare Annaeherung an Marktdaten.
- Das Modell bleibt einfach genug fuer analytische Loesungen.
Drift μ versus Volatilitaet σ
μ steht fuer erwartete Rendite oder Trend, σ fuer Zufall und Risiko.
Hohe σ bedeutet starke Preisschwankungen und eine hoehere geforderte Risikopraemie.
Hohe μ bedeutet einen staerkeren Aufwaertstrend und hoehere erwartete Renditen.
Black-Scholes-Optionspreisbildung
Eine europaeische Call-Option gibt das Recht, eine Aktie zum Strike K zum Zeitpunkt T zu kaufen.
C = S·N(d₁) - K·e^(-rT)·N(d₂)
d₁ = [ln(S/K) + (r + σ²/2)T] / (σ√T)
d₂ = d₁ - σ√T
N(·) ist die Standardnormalverteilungsfunktion. Die zentrale Idee ist ein risikoloses Hedge-Portfolio.
Risikoneutrale Bewertung
In vollstaendigen Maerkten entspricht der Preis dem abgezinsten Erwartungswert des Payoffs unter dem risikoneutralen Mass.
Price = e^(-rT) × E_Q[Payoff]
Die reale Drift μ wird durch den risikofreien Zinssatz r ersetzt.
Die Greeks (Risikomasse)
- Δ (Delta): ∂Price/∂S (hedging ratio)
- Γ (Gamma): ∂²Price/∂S² (convexity)
- ν (Vega): ∂Price/∂σ (volatility sensitivity)
- Θ (Theta): ∂Price/∂T (time decay)
- ρ (Rho): ∂Price/∂r (interest rate sensitivity)
Monte-Carlo-Simulation
Wenn es keine geschlossene analytische Loesung gibt, simuliert man viele Zufallspfade.
S_{i+1} = S_i × exp((μ - σ²/2)dt + σ√dt·Z)
where Z ~ N(0,1)
Diese Visualisierung nutzt genau diese Methode fuer die Pfadsimulation.
Virtuelles Labor
Experiment 1: Einstein-Beziehung pruefen
Testen Sie, ob ⟨x²⟩ = 2Dt in der Simulation gilt.
- Setzen Sie D = 1.0 und dt = 0.01.
- Starten Sie mit 50 Teilchen im Ursprung.
- Lassen Sie die Simulation bis T = 10.0 (1000 Schritte) laufen.
- Pruefen Sie die Regressionssteigung im MSD-Plot.
- Erwartete Steigung: 2D = 2.0.
Experiment 2: Zentraler Grenzwertsatz
Beobachten Sie, wie aus einfachen ±1-Schritten eine Gauss-Verteilung entsteht.
- Waehlen Sie den einfachen Random Walk.
- Verwenden Sie 100 Teilchen am Ursprung.
- Beobachten Sie das Histogramm nach 100, 500 und 1000 Schritten.
- Vergleichen Sie es mit der theoretischen Gauß-Kurve.
Experiment 3: Einfluss des Drifts
Wie veraendert ein konstanter Drift die Verteilung?
- Setzen Sie μ = 0.5 und D = 1.0.
- Starten Sie die Simulation und beobachten Sie ⟨x⟩.
- Erwartung: ⟨x⟩ = μt.
- Die Varianz bleibt 2Dt; der Drift verschiebt die Lage, nicht die Breite.
Experiment 4: Aktienpreissimulation
Vergleichen Sie verschiedene Marktszenarien.
- Wechseln Sie in den Finanzmodus.
- Probieren Sie verschiedene Kombinationen aus μ und σ aus.
- Bullenmarkt: μ = 0.15, σ = 0.2.
- Baerenmarkt: μ = -0.05, σ = 0.3.
- Beobachten Sie die Wahrscheinlichkeit von Gewinn und Verlust.
Experiment 5: Optionspreisbildung
Verstehen Sie Black-Scholes mithilfe von Simulation.
- Setzen Sie S₀ = 100, K = 100 und T = 1 Jahr.
- Simulieren Sie 1000 Preiswege.
- Berechnen Sie den Call-Payoff max(Sₜ - K, 0).
- Mitteln und abzinsen: e^(-rT) × E[Payoff].
- Vergleichen Sie das Ergebnis mit der Black-Scholes-Formel.