Interaktive Visualisierung von Arnolds Katzenabbildung: (x', y') = ((x+y) mod N, (x+2y) mod N). Iterationen verwürfeln das Bild, aber nach genau K Schritten stellt es sich perfekt wieder her.
Arnolds Katzenabbildung (1960) ist eine flächenerhaltende Transformation auf dem 2D-Torus: (x', y') = ((x+y) mod 1, (x+2y) mod 1). In Matrixform A = [[1,1],[1,2]], mit det(A)=1, erhält sie die Fläche (Satz von Liouville). Die Eigenwerte sind λ = (3±√5)/2, beide irrational — die Abbildung ist ergodisch und mischend. Trotz der scheinbaren Zerstörung der räumlichen Struktur ist die Abbildung periodisch: für ein N×N-Pixelgitter kehrt das Bild nach genau K Iterationen zum Original zurück.
Arnolds Katzenabbildung ist ein Prototyp zum Verständnis der KAM-Theorie. Sie ist ein Anosov-Diffeomorphismus — gleichmäßig hyperbolisch. Nahe Punkte divergieren exponentiell (positiver Lyapunov-Exponent ≈ 0.962). Trotz des Chaos ist die Abbildung auf einem diskreten Gitter exakt periodisch. Die Koexistenz von Ergodizität und Periodizität ist ein Merkmal flächenerhaltender Abbildungen.
Praktische Anwendungen: (1) Bildverschlüsselung — Bilder vor Übertragung verwürfeln. (2) Digitale Wasserzeichen — versteckte Informationen einbetten. (3) Pseudozufallszahlengenerierung. (4) Untersuchung hamiltonscher Systeme. (5) Kryptographie — die Abbildungsparameter dienen als geheime Schlüssel.
Laden Sie ein eigenes Bild hoch oder wählen Sie ein integriertes Muster. Klicken Sie auf Schritt → für eine Iteration oder nutzen Sie den Schieberegler für gespeicherte Schritte. Passen Sie a und b an, um die Matrix A = [[1,a],[b,1+ab]] zu ändern, und beobachten Sie das Regime zwischen Identität, parabolisch und hyperbolisch. Wenn N geändert wird, wird das aktuelle Quellbild neu abgetastet statt still auf die Katzenvorlage zurückzusetzen.