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Aktuelle Formel
V(Φ) = (λ/4)(Φ² - v²)²
Erkunden Sie spontane Symmetriebrechung, Goldstone-Theorem und Higgs-Mechanismus
Wenn v > 0, bildet das Potential eine 'Mexikanischer-Hut'-Form. Jeder Punkt auf dem Umfang ist ein Grundzustand, und diese kontinuierliche Entartung führt zum Auftreten von Goldstone-Bosonen.
Das Feld Φ nimmt Werte in einem n-dimensionalen inneren Raum an. Die O(n)-Symmetrie stellt sicher, dass das Potential nur von |Φ|² = ΦᵀΦ abhängt. Der Vakuumerwartungswert ⟨Φ⟩ zeigt die Richtung der spontanen Symmetriebrechung an.
Das lineare Sigma-Modell ist das einfachste Spielzeugmodell zum Verständnis spontaner Symmetriebrechung und des Higgs-Mechanismus. Es besteht aus n reellen Skalarfeldern mit globaler O(n)-Symmetrie. Durch Parameteranpassung kann man von der symmetrischen Phase zur gebrochenen Phase übergehen und dabei die Erzeugung von Goldstone-Bosonen und die Higgs-Modenmasse beobachten.
n-dimensionale reelle Skalarfelder sind unter orthogonalen Transformationen invariant. Die O(n)-Gruppe hat n(n-1)/2 Generatoren, entsprechend n(n-1)/2 erhaltenen Ladungen.
Wenn v ≠ 0, erhält der Vakuumzustand die ursprüngliche Symmetrie nicht. Das System wählt eine bestimmte Vakuumrichtung, was zu O(n) → O(n-1)-Brechung führt.
Jede gebrochene kontinuierliche Symmetrie erzeugt ein massloses Goldstone-Boson. Es gibt n-1 Goldstone-Moden, die auf der Vakuummannigfaltigkeit oszillieren.
Das radiale σ-Feld erwirbt Masse m_σ = √(2λ)v, die einzige massive Anregung des Systems, entsprechend dem Higgs-Teilchen.
Kinetischer Term: 1/2(∂_μΦ)^T(∂^μΦ) beschreibt die Dynamik von n nicht-gekoppelten reellen Skalarfeldern
Potentialterm: V(Φ) = λ/4(Φ^TΦ - v²)² hat O(n)-Symmetrie und bildet eine Mexikanischer-Hut-Form wenn v > 0
In der gebrochenen Phase zerlegen Sie das Feld in radiale Higgs-Mode und transversale Goldstone-Moden:
Oszilliert radial, stellt Gleichgewichtsradius wieder her, Masse m_σ = √(2λ)v
Oszilliert tangential auf der Vakuummannigfaltigkeit, keine Rückstellkraft, m_π = 0
Wenn das lineare Sigma-Modell an Eichfelder koppelt, werden Goldstone-Bosonen zur longitudinalen Polarisation der Eichbosonen. Dies ist der Higgs-Mechanismus:
wobei D_μ = ∂_μ + g A_μ^a T^a die kovariante Ableitung ist. In Unitar-Gauge werden π-Felder 'gefressen' und A_μ^a erwerben Masse m_A = gv.