# Z 变换计算器（离散系统，查表） 查表求离散序列的单边 Z 变换 X(z) = Σₙ₌₀^∞ x[n]·z^(−n)：覆盖 11 组标准变换对（δ[n]、u[n]、aⁿ、n、n²、n·aⁿ、sin/cos(ω₀n)、aⁿ·sin/aⁿ·cos、(−1)ⁿ），带参数代入、收敛域 |z| > R、推导要点，并可在指定 z 处数值求值（自动校验收敛）。示例：Z{0.5ⁿ} = z/(z−0.5)，|z| > 0.5，X(2) = 4/3。 > 标准页面: https://elysiatools.com/zh/tools/z-transform-calculator - **分类:** Math & Numbers - **关键词:** z变换, z变换表, 变换对, 离散系统, 差分方程, 收敛域, 几何级数, 单位阶跃, 单位脉冲, 数字信号处理 ## 概述 Z 变换计算器基于单边 Z 变换标准表，快速求解常见离散时间序列的解析表达式 X(z)。工具内置 11 组经典变换对（如指数序列、正余弦序列、阶跃序列等），自动代入底数 a 与角频率 ω₀ 参数，给出对应的收敛域（ROC）与推导说明，并支持在指定复数或实数点 z 处进行收敛性校验与数值计算。 ## 输入项 - **x\[n\] 形式** (select) - **参数 a（底数）** (number): Geometric base in a^n forms (pole at z = a). - **参数 ω₀（频率，弧度/样本）** (number): Angular frequency in sin/cos forms (must be nonzero). - **在 z 处求值 X(z)（可选）** (number): Numeric evaluation point; must satisfy the region of convergence. - **小数位数** (number) ## 适用场景 - 在离散时间信号与系统或数字信号处理（DSP）课程中核对序列的标准 Z 变换表达式及收敛域。 - 求解离散差分方程或分析离散 LTI 系统脉冲响应与极点分布时快速查表与代入参数。 - 需要验证在特定点 z₀ 处级数是否收敛并快速获取解析函数的数值结果。 ## 工作原理 - 在列表中选择离散序列形式 x\[n\]（包含 δ\[n\]、u\[n\]、aⁿ、sin(ω₀n)、aⁿ·cos(ω₀n) 等 11 种常见形式）。 - 根据所选形式输入相应的参数，如底数 a、角频率 ω₀，以及计算保留的小数位数。 - 可选用数值求值点 z₀，系统将匹配单边 Z 变换闭式解，校验 |z₀| 是否落在收敛域 |z| > R 内，并输出代入公式与数值结果。 ## 使用案例 - 信号与系统作业：快速求解类似 x\[n\] = 0.5ⁿ 或 x\[n\] = n·0.8ⁿ 的 Z 变换并输出推导说明。 - 数字滤波器分析：核验二阶振荡或衰减正余弦序列的系统极点位置及收敛半径。 - 数值代入验证：计算解析解在 z = 2 等特定点的值，用于比对离散仿真或差分方程递推值。 ## 常见问题 ### 本工具使用的是单边 Z 变换还是双边 Z 变换？ 工具采用单边 Z 变换定义，即求和区间为从 n = 0 到 +∞（X(z) = Σ x[n] z^(−n)）。 ### 什么是收敛域（ROC），为什么它很重要？ 收敛域是使级数求和绝对收敛的 z 模长范围；对于因果序列，收敛域通常形如 |z| > R，数值求值必须位于收敛域内。 ### 如果输入的 z₀ 不在收敛域内会怎样？ 系统会检测输入的数值点是否满足 |z₀| > R，若不满足收敛条件将给出提示，避免无效求值。 ### 指数加权正弦或余弦序列是如何推导的？ 根据频域缩放性质，时域乘以 aⁿ 等价于将变换中的复变量 z 替换为 z/a，从而使极点半径按 a 进行缩放。 ### 计算器支持自定义任意数学序列吗？ 不支持任意函数解析，工具专注于离散系统分析中最高频的 11 组标准变换对及其参数化求解。 ## 相关工具 - [拉普拉斯逆变换计算器（部分分式法）](https://elysiatools.com/zh/tools/inverse-laplace-calculator): 对有理函数 F(s) = N(s)/D(s)（真分式，分母次数 ≤ 6）求拉普拉斯逆变换：先对分母求根并按重数/共轭对分组，再解多项式系数线性方程组得到部分分式分解，最后逐项查表反变换（A/(s−r)→Ae^(rt)、A/(s−r)^j→At^(j−1)e^(rt)/(j−1)!、(Bs+C)/((s−α)²+β²)→e^(αt)\[Bcos(βt)+…sin(βt)\]）。经典例：1/(s²+3s+2) → e^(−t)−e^(−2t)；(3s+5)/(s²+4) → 3cos(2t)+2.5sin(2t)。 - [拉普拉斯变换计算器（常用函数对查表）](https://elysiatools.com/zh/tools/laplace-transform-calculator): 查表求常用函数的拉普拉斯变换 F(s) = ∫₀^∞ e^(−st)f(t)dt：覆盖 14 组标准变换对（1、t、tⁿ、e^(at)、tⁿe^(at)、sin/cos(kt) 及其指数移位、sinh/cosh、t·sin/t·cos、δ(t)），带参数代入、收敛域（如 s > a）、推导要点，并可在指定 s 处数值求值（自动校验收敛）。示例：L{e^t} = 1/(s−1)，s>1，F(2) = 1。 - [部分分式分解计算器（有理函数）](https://elysiatools.com/zh/tools/partial-fraction-decomposer): 对有理函数 F(x) = N(x)/D(x) 做部分分式分解（分母次数 ≤ 6，分子次数 ≤ 8，假分式自动先做多项式长除）：Durand-Kerner 求分母根并按重数/共轭对分组，解多项式系数线性方程组得到 A/(x−r)^j 与 (Bx+C)/((x−α)²+β²) 形式的分解，并在代数探针点做数值残差验证。经典例：(3x+5)/(x²+3x+2) = 2/(x+1) + 1/(x+2)；(x³+2x)/(x²+1) = x + x/(x²+1)；1/(x(x+1)²) = 1/x − 1/(x+1) − 1/(x+1)²。 - [二阶常系数线性微分方程求解器（特征方程法）](https://elysiatools.com/zh/tools/second-order-ode-solver): 求解 a·y'' + b·y' + c·y = f(x)：解特征方程 ar² + br + c = 0，按判别式给出齐次解（两相异实根 / 二重根 / 共轭复根），用待定系数法求特解（含共振：k 为特征根时试探解乘 x^m），支持常数、多项式、A·e^(kx) 与 A·sin(kx)+B·cos(kx) 右端项；给定 y(x₀) 与 y'(x₀) 时由 2×2 线性方程组定出 C1、C2。经典例：y''−3y'+2y=0，y(0)=1，y'(0)=0 → y = −e^(2x)+2e^x。 - [绝对值计算器](https://elysiatools.com/zh/tools/absolute-value-calculator): 计算正数、负数或小数的绝对值，并说明它与零点的距离关系 - [换气次数 ACH 计算器（n = Q/V）](https://elysiatools.com/zh/tools/air-changes-per-hour): 由新风风量 Q 与房间体积 V 求换气次数 n=Q/V（单位 1/h）。支持三种模式：求 n（给 Q、V）、求风量 Q（给 n、V）、求体积 V（给 n、Q）。风量支持 m³/s/m³/h/CFM，体积支持 m³/ft³/L。并按完全混合单区衰减模型给出达到设定净化目标（剩余比例，默认 1%）所需时间 t=−ln(ε)/n。 - [滚动轴承额定寿命 L10 计算器](https://elysiatools.com/zh/tools/bearing-life-l10): 计算滚动轴承基本额定寿命 L10 = (C/P)^p。球轴承 p=3，滚子轴承 p=10/3。给定转速时可换算为小时寿命 L10h。 - [螺栓扭矩预紧力计算器](https://elysiatools.com/zh/tools/bolt-torque-clamp-force): 计算螺栓拧紧扭矩与轴向预紧力的换算。T = K·F·d，K 为螺母系数（干钢约 0.20）。可由预紧力求扭矩，或由扭矩求预紧力。 ## 示例 - [Web Python 图像处理示例](https://elysiatools.com/zh/samples/web-image-processing-python): Web Python 图像处理示例，使用 PIL/Pillow 包括读取、保存、缩放和格式转换 - [Android Java 图像处理示例](https://elysiatools.com/zh/samples/android-image-processing-java): Android Java 图像处理示例，包括图像读取保存、缩放和格式转换 - [Android Kotlin 图像处理示例](https://elysiatools.com/zh/samples/android-image-processing-kotlin): Android Kotlin 图像处理示例，包括图像读取保存、缩放和格式转换 - [Web Rust 图像处理示例](https://elysiatools.com/zh/samples/web-image-processing-rust): Web Rust 图像处理示例，包括图像读取保存、缩放和格式转换 ## 相关内容 - [音频编码与格式转换工具](https://elysiatools.com/zh/hubs/audio-convert): 在一个专题里比较音频格式转换、码率调整、采样率转换、编码切换和导出工具，适合交付与归档工作流。 - [图片格式转换与动画导出工具](https://elysiatools.com/zh/hubs/image-convert): 在一个专题里比较 JPG、PNG、GIF、AVIF、WebP、TIFF、ICO、base64 以及动画导出相关的图片格式转换工具。 - [JSON 交换与格式翻译工具](https://elysiatools.com/zh/hubs/json-convert): 在一个专题里比较 JSON 与 CSV、YAML、TOML、GraphQL、XML、Markdown、Excel、BSON、EDN 等结构化格式之间的转换工具。 - [面向网页与印刷的色彩空间转换工具](https://elysiatools.com/zh/hubs/design-convert): 围绕网页到印刷的色彩空间转换整理的一组工具。