# 量子隧穿概率计算器

矩形势垒的量子隧穿：电子/质子/自定义质量，输入垒高 V₀（eV）、宽度 a（nm）与粒子能量 E。输出衰减常数 κ = √(2m(V₀−E))/ℏ、κa、WKB 透射系数 T ≈ e^(−2κa) 与矩形垒精确解，以及反射率 R = 1−T。当 E 超过垒高时改用垒上散射公式——量子力学在垒上同样会部分反射。

> 标准页面: https://elysiatools.com/zh/tools/tunneling-probability

- **分类:** Science & Education

- **关键词:** 量子隧穿, WKB 近似, 透射系数, 矩形势垒, α 衰变, 量子力学

## 概述

量子隧穿概率计算器用于求解微观粒子穿过矩形势垒的物理参量。工具支持电子、质子或自定义质量粒子，根据势垒高度、宽度及粒子能量，自动计算衰减常数 κ、无量纲参数 κa、WKB 近似透射率、精确解析解以及反射系数，并在能量高于势垒时自动切换为垒上散射状态计算。

## 输入项

- **粒子** (select)
- **自定义质量（kg）** (number): e.g. 9.109e-31
- **势垒高度 V₀（eV）** (number): e.g. 1
- **势垒宽度 a（nm）** (number): e.g. 1
- **粒子能量 E（eV）** (number): e.g. 0.5

## 适用场景

- 在量子力学或固体物理课程中验证矩形势垒透射系数与反射系数的解析解。
- 评估纳米器件、扫描隧道显微镜（STM）或半导体异质结中电子隧穿概率。
- 对比 WKB 近似公式与薛定谔方程精确解在不同势垒厚度下的适用范围与误差。

## 工作原理

- 选择预设粒子（电子、质子）或输入自定义粒子质量（kg）。
- 输入矩形势垒高度 V₀（eV）、势垒宽度 a（nm）以及入射粒子能量 E（eV）。
- 当 E < V₀ 时，根据薛定谔方程求解衰减常数 κ = √(2m(V₀−E))/ℏ，输出 WKB 近似透射率 T ≈ exp(−2κa)、精确透射率 T 及反射率 R = 1−T；当 E > V₀ 时，自动采用垒上散射公式计算内部波数与透射反射率。

## 使用案例

- 量子物理教学演示：直观展示粒子质量或能量变化对隧穿指数衰减的影响。
- 隧道二极管设计分析：估算特定势垒宽度和能级下载流子的隧穿透过几率。
- 核物理模型探讨：研究类似 α 粒子穿透库仑势垒模型在方势垒近似下的衰减速率。

## 常见问题

### WKB 近似与精确矩形势垒公式有何区别？

WKB 近似给出指数衰减项 T ≈ exp(−2κa)，在厚势垒或高势垒（κa 较大）时极准；精确解则包含势垒边界连续性条件带来的前置振幅因子。

### 粒子能量 E 大于势垒高度 V₀ 时还会发生反射吗？

会发生反射。在量子力学中，当粒子波跨越不同势能区域时会出现波阻抗不匹配，因此即便 E > V₀ 仍存在非零的反射率。

### 如何计算质子或其他重粒子的隧穿概率？

在粒子下拉菜单中选择“质子”或切换为“自定义质量”并输入粒子质量（kg），计算器将根据实际质量自动更新衰减常数。

### 势垒宽度和高度分别使用什么单位？

势垒宽度 a 的单位为纳米（nm），势垒高度 V₀ 与粒子能量 E 的单位均为电子伏特（eV）。

### 计算器支持哪些势垒几何形状？

当前模型基于一维一维矩形势垒（方势垒）的严格解析解与 WKB 近似公式。

## 相关工具

- [安培力计算器](https://elysiatools.com/zh/tools/ampere-force-calculator): 载流导线在磁场中的安培力 F = B·I·L·sinθ：B、I、L 单位可选，输出力的大小、90° 参照力与方向（垂直于导线与磁场，右手定则）。锚点：1 T、1 A、1 m、成直角时恰为 1 N；倾到 30° 因 sin 30° = ½ 而减半，平行时为零；而地磁场 50 µT 对同样导线只施 50 µN。
- [库仑力计算器](https://elysiatools.com/zh/tools/coulomb-force-calculator): 库仑定律 F = k·|q₁q₂|/r²，k = 8.987552×10⁹ N·m²/C²：电荷带符号，大小由 |q₁q₂| 决定，符号积决定吸引还是排斥。锚点示例：两个 1 C 电荷相距 1 m 以 8.99×10⁹ N 互斥——教科书展示库仑有多巨大的经典案例；氢原子中电子–质子在玻尔半径的吸引恰好是 8.24×10⁻⁸ N。
- [电势计算器](https://elysiatools.com/zh/tools/electric-potential-calculator): 点电荷电势 V = k·Q/r，符号保留：正源抬升电势，负源压低电势；同时换算电子在该点的电势能 U = −e·V 并以 eV 给出，原子尺度直接可读。锚点示例：1 µC 在 1 m 处得 8987.55 V；质子在玻尔半径的电势为 27.211386 V，−e·V = −27.211386 eV 恰为氢 13.6 eV 电离能的两倍（位力定理：势能动能各半）。
- [法拉第电磁感应电动势计算器](https://elysiatools.com/zh/tools/faraday-induction-emf): 法拉第电磁感应定律 |ε| = N·ΔΦ/Δt：匝数、磁通、时间可选，输出电动势大小并附楞次定律符号说明。韦伯正是由该定律定义的：每匝每秒 1 Wb 的磁通变化感应恰 1 V；匝数会叠乘——200 匝线圈在 10 ms 内磁通变化 0.5 mWb，每匝 0.05 V 串叠成 10 V，自行车发电机到电站交流发电机靠的正是这个原理。
- [光学放大率计算器](https://elysiatools.com/zh/tools/magnification-power): 三种经典仪器的放大率：放大镜 M = D/f（D = 25 cm 明视距离）、显微镜 M = (L/f_o)·(D/f_e)（L 为镜筒长）、望远镜 M = f_o/f_e（纯焦距比）。各模式按需读取毫米焦距，并给出放大率的因子分解——显微镜 40× × 10× = 400× 的结构一目了然。
- [马吕斯定律计算器](https://elysiatools.com/zh/tools/polarization-malus-law): 马吕斯定律 I = I₀·cos²θ：偏振片只透过电场在其轴上的投影，光强按 cos²θ 衰减。工具输出透射光强与百分比，三个标志角度写进结果注记——0° 全透、45° 减半、90° 消光（正交偏振片）。
- [拉乌尔定律计算器](https://elysiatools.com/zh/tools/raoult-law-calculator): 理想溶液的拉乌尔定律 p_i = x_i·p_i*：单组分模式给出分压及相对纯液体的降低量；双组分模式输入 x_A、p_A*、p_B*，给出两个分压、总蒸气压 p = x_A·p_A* + x_B·p_B* 以及气相摩尔分数 y_A = p_A/p——分馏富集易挥发组分的原理。锚点：等摩尔苯（95.1 torr）+ 甲苯（28.4 torr）在 x_A = 0.5 时 p = 61.75 torr、y_A = 0.77；水在 x = 0.85、p* = 23.76 torr 时 p = 20.196 torr。
- [相对论动量计算器](https://elysiatools.com/zh/tools/relativistic-momentum): 相对论动量 p = γmv（γ = 1/√(1−v²/c²)）：因子 γ 取代经典力学的 mv，并随 v → c 发散——这正是任何有质量粒子都无法被加速到光速的原因。输出 kg·m/s 与粒子物理惯用的 p·c（eV 系单位），并与经典 mv 对比（比值恰为 γ）。电子/质子/自定义质量，速度按 β 或 m/s 输入。

## 示例

- [Android Java 图像处理示例](https://elysiatools.com/zh/samples/android-image-processing-java): Android Java 图像处理示例，包括图像读取保存、缩放和格式转换
- [Android Kotlin 图像处理示例](https://elysiatools.com/zh/samples/android-image-processing-kotlin): Android Kotlin 图像处理示例，包括图像读取保存、缩放和格式转换
- [Web Python 图像处理示例](https://elysiatools.com/zh/samples/web-image-processing-python): Web Python 图像处理示例，使用 PIL/Pillow 包括读取、保存、缩放和格式转换
- [Web Rust 图像处理示例](https://elysiatools.com/zh/samples/web-image-processing-rust): Web Rust 图像处理示例，包括图像读取保存、缩放和格式转换