# 信号流图梅森增益公式反馈回路求解器

用梅森增益公式逐步求解控制系统信号流图：前向通路枚举、回路发现、不接触回路组合、Δ 与 Δk 行列式、精确传递函数。

> 标准页面: https://elysiatools.com/zh/tools/signal-flow-graph-mason-gain-rule-feedback-loop-solver

- **分类:** Science & Education

- **关键词:** 梅森增益公式, 信号流图, 传递函数, 控制系统, 反馈回路, 前向通路, 不接触回路, 方框图

## 概述

每行输入一条边 "from -> to = 增益"。增益可以是数值（0.5、-2）、符号（G1、H2）或乘积（2*G1、b1*z^-1）；内部使用分数保持精确。求解器枚举全部前向通路与简单回路，找出两两不接触的回路组合，展开 Δ = 1 − ΣL + ΣLL − …，逐条计算 Δk，最后给出 T = Σ Pk·Δk / Δ 的符号比值（可数值化时附精确数值）。

## 输入项

- **边（每行一条）：from -> to = 增益** (textarea): R -> x1 = 1 x1 -> x2 = G1 x2 -> out = 1 x2 -> x1 = -H1
- **输入（源）节点** (text): R
- **输出（汇）节点** (text): out

## 适用场景

- 在控制工程课程或自控原理作业中推导复杂系统传递函数时
- 对包含多重交织反馈回路和前向通路的控制系统进行符号或数值化简时
- 将复杂控制框图转换为信号流图后需要快速验证手算梅森增益公式结果时

## 工作原理

- 在输入框中按“起点 -> 终点 = 增益”格式定义信号流图的每一条有向分支，并指定源节点与汇节点。
- 系统自动解析有向图拓扑，识别所有从源到汇的简单前向通路（Pk）以及图中的所有独立反馈回路（Li）。
- 算法检测所有两两及多重互不接触回路组合，展开计算特征行列式 Δ 以及与各前向通路不接触的子行列式 Δk。
- 根据梅森公式 T = (Σ Pk·Δk) / Δ 生成完整的符号传递函数表达式，若输入为纯数值则计算精确分数值。

## 使用案例

- 自动控制原理教学中演示复杂信号流图的梅森增益公式分步推导
- 多回路模拟电路与放大器反馈拓扑的小信号传递函数符号化简
- 数字信号处理（DSP）结构流图在 z 域的系统函数解析与验证

## 常见问题

### 增益参数支持哪些输入格式？

支持纯数值（如 0.5、-2）、符号代数（如 G1、H2）以及乘积表达式（如 2*G1 或 b1*z^-1）。

### 如何表示一个节点的自环反馈？

将起点与终点设置为同一个节点即可，例如输入“n1 -> n1 = H1”。

### 输入纯数值时，计算结果会丢失精度吗？

不会，求解器内部采用精确分数算术运算，能够输出精确的分数比值与小数近似值。

### 什么是互不接触回路？

互不接触回路是指两个或多个在拓扑结构上没有任何公共节点的独立反馈回路。

### 如果不存在前向通路会怎样？

若源节点到汇节点之间没有通路，系统将识别前向通路数为零，最终输出传递函数为 0。

## 相关工具

- [孟德尔 Punnett 方格计算器](https://elysiatools.com/zh/tools/mendelian-punnett-square): 为孟德尔杂交构建 Punnett 方格，并自动计算基因型和表型比例。支持完全显性、不完全显性（融合）、共显性和 X 连锁（伴性）遗传——X 连锁杂交中每个后代格子都标注性别。
- [安培力计算器](https://elysiatools.com/zh/tools/ampere-force-calculator): 载流导线在磁场中的安培力 F = B·I·L·sinθ：B、I、L 单位可选，输出力的大小、90° 参照力与方向（垂直于导线与磁场，右手定则）。锚点：1 T、1 A、1 m、成直角时恰为 1 N；倾到 30° 因 sin 30° = ½ 而减半，平行时为零；而地磁场 50 µT 对同样导线只施 50 µN。
- [库仑力计算器](https://elysiatools.com/zh/tools/coulomb-force-calculator): 库仑定律 F = k·|q₁q₂|/r²，k = 8.987552×10⁹ N·m²/C²：电荷带符号，大小由 |q₁q₂| 决定，符号积决定吸引还是排斥。锚点示例：两个 1 C 电荷相距 1 m 以 8.99×10⁹ N 互斥——教科书展示库仑有多巨大的经典案例；氢原子中电子–质子在玻尔半径的吸引恰好是 8.24×10⁻⁸ N。
- [电势计算器](https://elysiatools.com/zh/tools/electric-potential-calculator): 点电荷电势 V = k·Q/r，符号保留：正源抬升电势，负源压低电势；同时换算电子在该点的电势能 U = −e·V 并以 eV 给出，原子尺度直接可读。锚点示例：1 µC 在 1 m 处得 8987.55 V；质子在玻尔半径的电势为 27.211386 V，−e·V = −27.211386 eV 恰为氢 13.6 eV 电离能的两倍（位力定理：势能动能各半）。
- [电子排布计算器](https://elysiatools.com/zh/tools/electron-configuration-calculator): 按元素符号或原子序数查询电子排布、壳层分布、价电子和轨道图
- [法拉第电磁感应电动势计算器](https://elysiatools.com/zh/tools/faraday-induction-emf): 法拉第电磁感应定律 |ε| = N·ΔΦ/Δt：匝数、磁通、时间可选，输出电动势大小并附楞次定律符号说明。韦伯正是由该定律定义的：每匝每秒 1 Wb 的磁通变化感应恰 1 V；匝数会叠乘——200 匝线圈在 10 ms 内磁通变化 0.5 mWb，每匝 0.05 V 串叠成 10 V，自行车发电机到电站交流发电机靠的正是这个原理。
- [马吕斯定律计算器](https://elysiatools.com/zh/tools/polarization-malus-law): 马吕斯定律 I = I₀·cos²θ：偏振片只透过电场在其轴上的投影，光强按 cos²θ 衰减。工具输出透射光强与百分比，三个标志角度写进结果注记——0° 全透、45° 减半、90° 消光（正交偏振片）。
- [拉乌尔定律计算器](https://elysiatools.com/zh/tools/raoult-law-calculator): 理想溶液的拉乌尔定律 p_i = x_i·p_i*：单组分模式给出分压及相对纯液体的降低量；双组分模式输入 x_A、p_A*、p_B*，给出两个分压、总蒸气压 p = x_A·p_A* + x_B·p_B* 以及气相摩尔分数 y_A = p_A/p——分馏富集易挥发组分的原理。锚点：等摩尔苯（95.1 torr）+ 甲苯（28.4 torr）在 x_A = 0.5 时 p = 61.75 torr、y_A = 0.77；水在 x = 0.85、p* = 23.76 torr 时 p = 20.196 torr。

## 示例

- [Android Java 图像处理示例](https://elysiatools.com/zh/samples/android-image-processing-java): Android Java 图像处理示例，包括图像读取保存、缩放和格式转换
- [Android Kotlin 图像处理示例](https://elysiatools.com/zh/samples/android-image-processing-kotlin): Android Kotlin 图像处理示例，包括图像读取保存、缩放和格式转换
- [Web Python 图像处理示例](https://elysiatools.com/zh/samples/web-image-processing-python): Web Python 图像处理示例，使用 PIL/Pillow 包括读取、保存、缩放和格式转换
- [Web Rust 图像处理示例](https://elysiatools.com/zh/samples/web-image-processing-rust): Web Rust 图像处理示例，包括图像读取保存、缩放和格式转换