# 二阶常系数线性微分方程求解器（特征方程法）

求解 a·y'' + b·y' + c·y = f(x)：解特征方程 ar² + br + c = 0，按判别式给出齐次解（两相异实根 / 二重根 / 共轭复根），用待定系数法求特解（含共振：k 为特征根时试探解乘 x^m），支持常数、多项式、A·e^(kx) 与 A·sin(kx)+B·cos(kx) 右端项；给定 y(x₀) 与 y'(x₀) 时由 2×2 线性方程组定出 C1、C2。经典例：y''−3y'+2y=0，y(0)=1，y'(0)=0 → y = −e^(2x)+2e^x。

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- **分类:** Math & Numbers

- **关键词:** 二阶微分方程, 特征方程, 待定系数法, 齐次解, 特解, 共振, 阻尼振动, 初值问题, 常微分方程, 微积分

## 概述

二阶常系数线性微分方程求解器支持快速解析形如 a·y'' + b·y' + c·y = f(x) 的常微分方程。工具通过求解特征方程 ar² + br + c = 0 自动判断实根、重根或共轭复根并输出齐次解，同时采用待定系数法处理常数、多项式、指数及三角函数等激励项（自动处理共振试探乘项），并可结合初始条件精准定出待定常数 C1 与 C2。

## 输入项

- **系数 a（y''）** (number): Coefficient of y'' (must be nonzero).
- **系数 b（y'）** (number): Coefficient of y'.
- **系数 c（y）** (number): Coefficient of y.
- **右端项 f(x)** (select)
- **F（常数项）** (number): Used when forcing = Constant.
- **多项式系数（常数项在前）** (text): Comma-separated coefficients, constant term first (degree ≤ 5). Used when forcing = Polynomial.
- **A（振幅）** (number): Used when forcing = Exponential.
- **k（增长率）** (number): Used when forcing = Exponential.
- **A（sin 振幅）** (number): Used when forcing = Sine/cosine.
- **B（cos 振幅）** (number): Used when forcing = Sine/cosine.
- **k（角频率）** (number): Used when forcing = Sine/cosine.
- **x₀（初始 x）** (number): Initial point (used with y₀ and y'₀).
- **y₀ = y(x₀)** (number): Provide together with y'₀ to pin down C1, C2.
- **y'₀ = y'(x₀)** (number): Initial derivative (both or neither of y₀, y'₀).

## 适用场景

- 需要分析二阶常系数齐次或非齐次微分方程的通解结构时。
- 物理学与工程学中求解阻尼振动、RLC 电路或机械共振的运动方程时。
- 已知初始位移 y(x₀) 与初始速度 y'(x₀)，需要快速确定初值问题（IVP）特解常数时。

## 工作原理

- 输入二阶导数系数 a、一阶导数系数 b 和常数项系数 c，程序构建特征方程 ar² + br + c = 0 并依据判别式 Δ 计算特征根以获得齐次解 yh。
- 选择右端非齐次项 f(x) 类型（常数、多项式、指数或正弦/余弦），若激励项形式与特征根重合，自动引入 x^m 因子并通过待定系数法求出特解 yp。
- 将齐次解与特解相加得到通解 y = yh + yp；若输入了 x₀、y(x₀) 和 y'(x₀)，则建立 2×2 线性代数方程组联立解出常数 C1 与 C2。

## 使用案例

- 高等数学与微积分课程中验证特征方程求解、待定系数法推导及初值问题作业。
- 机械工程中分析无阻尼、欠阻尼、临界阻尼与过阻尼单自由度振动响应。
- 电路分析中求解 RLC 串联/并联回路在阶跃电压或交流正弦激励下的暂态与稳态响应。

## 常见问题

### 特征方程判别式 Δ 小于 0 时，齐次解的形式是什么？

当 Δ < 0 时特征方程为共轭复根 r = α ± βi，齐次解形式为 e^(αx) · (C1·cos(βx) + C2·sin(βx))。

### 当右端外力项与特征根频率相同时（共振），工具如何处理？

待定系数法会自动将试探解乘以 x（单根重合）或 x²（二重根重合）以消除线性相关，正确导出共振特解。

### 多项式右端项的系数应如何输入？

以逗号分隔输入从常数项到最高次项的系数，例如输入 2,-3,0.5 代表 2 - 3x + 0.5x²（最高支持 5 次）。

### 是否可以只输入 y(x₀) 而不输入 y'(x₀)？

定出 C1 与 C2 必须同时提供 y(x₀) 和 y'(x₀)；若未完整提供初值，工具仅输出包含未定常数的通解。

### 系数 a 可以设置为 0 吗？

不能，系数 a 为二阶导数 y'' 的系数，必须为非零数值才能构成二阶微分方程。

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