# M/M/1 排队系统计算器

计算 M/M/1 单服务台排队系统的稳态指标：泊松到达（率 λ）、指数服务（率 μ）、FCFS。要求 λ < μ，否则系统不稳定（队列无限增长）并按业务拒绝处理。输出利用率 ρ、系统空闲概率 P0、系统中平均人数 L、队列平均等待人数 Lq、平均逗留时间 W、平均等待时间 Wq、顾客需等待的概率 ρ，以及状态概率 P(n) = (1−ρ)ρⁿ（n = 0…5），并用 Little 公式 L = λW、Lq = λWq 交叉验证。经典例：λ = 4/小时、μ = 6/小时 → ρ = 0.6667、L = 2、Lq = 1.3333、W = 0.5、Wq = 0.3333。

> 标准页面: https://elysiatools.com/zh/tools/queuing-theory-mm1

- **分类:** Math & Numbers

- **关键词:** 排队论, mm1, m/m/1, 排队, 等待线, 利特尔法则, 利用率, 泊松到达, 指数服务, 运筹学

## 概述

M/M/1 排队系统计算器专用于分析单服务台排队模型的稳态性能指标。输入泊松到达率 λ 和指数分布服务率 μ 后，工具可自动计算系统利用率、空闲概率、平均等待队长及逗留时间，并输出状态概率分布与利特尔法则交叉验证结果。

## 输入项

- **到达率 λ（每时间单位）** (number): Average arrivals per time unit (Poisson process). Must be below the service rate μ.
- **服务率 μ（每时间单位）** (number): Average services per time unit (exponential distribution). Must exceed the arrival rate λ.
- **小数位数** (number)

## 适用场景

- 评估单窗口服务台（如银行柜台、收费站、单一客服专线）的排队拥堵与等待时间
- 规划单线程或单服务器后端服务的请求吞吐容量，避免队列无限积压
- 完成运筹学、概率论与排队论课程中的 M/M/1 经典模型计算与作业验证

## 工作原理

- 验证系统稳定性条件（要求到达率 λ 严格小于服务率 μ，否则判定为不稳定系统）
- 依据稳态公式计算服务台利用率 ρ = λ/μ、空闲率 P0 = 1 - ρ 及状态概率 P(n) = (1-ρ)ρⁿ
- 求解系统中平均数量 L、队列平均数量 Lq、平均逗留时间 W 与平均等待时间 Wq
- 利用利特尔法则（L = λW 与 Lq = λWq）自动完成指标间的数值交叉验证并按指定精度输出

## 使用案例

- 窗口服务能力评估：核算服务窗口在高峰期客流下的平均等待时长与排队长度
- IT 性能基准测算：评估单工作线程在指定请求到达速率下的平均响应与排队延迟
- 运筹学教学与验证：快速核算 M/M/1 经典课后习题与利特尔法则的一致性

## 常见问题

### 为什么计算提示系统不稳定？

M/M/1 模型要求到达率 λ 必须小于服务率 μ；若 λ ≥ μ，队列将无限增长无法达到稳态。

### 到达率和服务率的时间单位必须一致吗？

必须保持一致，若到达率按小时计算，服务率也必须换算为每小时处理量。

### L 和 Lq 的区别是什么？

L 表示系统中的总人数（包含正在接受服务者），Lq 仅表示在队列中排队等待的人数。

### W 和 Wq 的区别是什么？

W 为顾客在系统中的总逗留时间（等待时间加服务时间），Wq 仅为纯排队等待时间。

### 输出中包含哪些状态概率？

工具默认输出系统内包含 0 到 5 位顾客的具体稳态概率 P0 至 P5。

## 相关工具

- [完全数判定器](https://elysiatools.com/zh/tools/perfect-number-checker): 判定 n 是否为完全数（等于其真因子之和，即 σ(n) = 2n）。对 n（≤ 10¹²）做试除因子分解，由素数幂的 σ 公式求出 σ(n) 与真因子和，分类为亏数/完全数/盈数，给出充裕指数 σ(n)/n；对完全数还原欧几里得–欧拉形式 2^(p−1)·(2^p − 1)，并列出 10¹² 以内的全部七个偶完全数。真因子个数 ≤ 200 时可列出真因子表。
- [素数检查器](https://elysiatools.com/zh/tools/prime-number-checker): 检查一个数字是否为素数（大于1且只能被1和自身整除的自然数）
- [M/M/c 多服务台排队计算器](https://elysiatools.com/zh/tools/queuing-theory-mmc): 计算 M/M/c 多服务台排队系统的稳态指标（泊松到达率 λ、c 个相同指数服务台、各台服务率 μ、共享 FCFS 队列）：给出通达量 a = λ/μ、每台利用率 ρ、系统空闲概率 P0、Erlang-C 等待概率 Pw、队列平均人数 Lq、系统平均人数 L、平均逗留时间 W 与等待时间 Wq，并用 Little 公式与 Pw→Lq 关系交叉验证。要求 λ < cμ，否则按业务拒绝（不稳定）；c = 1 时公式退化为 M/M/1。经典例：λ = 6/小时、μ = 3/小时、c = 3 → P0 = 0.1111、Pw = 0.4444、Lq = 0.8889、L = 2.8889。
- [威尔逊定理素性判定器](https://elysiatools.com/zh/tools/wilson-theorem-checker): 用威尔逊定理判定素性：当且仅当 n 为素数时 (n−1)! ≡ −1 (mod n)。逐项累加 (n−1)! mod n（n ≤ 10⁷），与确定性 Miller–Rabin 交叉验证，并对合数 n 检验合数阶乘律（n > 4 时 (n−1)! ≡ 0 (mod n)，唯一例外 n = 4）。可显示 k! mod n 的逐步乘积序列（n ≤ 200）。
- [量纲分析单位约分导师](https://elysiatools.com/zh/tools/dimensional-analysis-unit-cancellation-tutor): 将单位换算拆成逐步 factor-label 约分：显示分子/分母单位如何消去，自动识别倒置换算因子，并对维度不一致与学生数值答案给出教学反馈。
- [矩阵乘法计算器](https://elysiatools.com/zh/tools/matrix-multiplication-calculator): 计算两个矩阵的乘积，包含维度检查和可选步骤说明
- [管道摩擦系数计算器（Colebrook-White / Haaland / 层流）](https://elysiatools.com/zh/tools/pipe-friction-factor): 计算达西摩擦系数：Re<2000 用层流闭式 f=64/Re；湍流用 Colebrook-White 方程迭代求解，并提供 Haaland 显式近似作交叉校验。ε 支持 m/mm/µm，D 支持 m/cm/mm，结果包含相对粗糙度 ε/D、迭代次数及流态判定。
- [整除计算器](https://elysiatools.com/zh/tools/divisibility-calculator): 检查一个整数能否被另一个整数整除，并展示商、余数和可选整除规则提示

## 示例

- [RocketMQ 消息队列示例](https://elysiatools.com/zh/samples/rocketmq-samples): Apache RocketMQ 示例，包括生产者、消费者、顺序消息、延迟消息、广播消费和事务消息，适用于高吞吐量消息传递
- [Android Java 图像处理示例](https://elysiatools.com/zh/samples/android-image-processing-java): Android Java 图像处理示例，包括图像读取保存、缩放和格式转换
- [Android Kotlin 图像处理示例](https://elysiatools.com/zh/samples/android-image-processing-kotlin): Android Kotlin 图像处理示例，包括图像读取保存、缩放和格式转换
- [Web Python 图像处理示例](https://elysiatools.com/zh/samples/web-image-processing-python): Web Python 图像处理示例，使用 PIL/Pillow 包括读取、保存、缩放和格式转换