# 完全数判定器

判定 n 是否为完全数（等于其真因子之和，即 σ(n) = 2n）。对 n（≤ 10¹²）做试除因子分解，由素数幂的 σ 公式求出 σ(n) 与真因子和，分类为亏数/完全数/盈数，给出充裕指数 σ(n)/n；对完全数还原欧几里得–欧拉形式 2^(p−1)·(2^p − 1)，并列出 10¹² 以内的全部七个偶完全数。真因子个数 ≤ 200 时可列出真因子表。

> 标准页面: https://elysiatools.com/zh/tools/perfect-number-checker

- **分类:** Math & Numbers

- **关键词:** 完全数, 真因子和, 盈数, 亏数, 充裕指数, 因子, 梅森素数, 数论

## 概述

完全数判定器是一款专业的数论分析工具，支持在 1 ≤ n ≤ 10¹² 范围内快速判断正整数是否为完全数。工具通过试除质因数分解计算除数函数 σ(n) 与真因子和，准确判定亏数、完全数与盈数分类，并计算充裕指数；对于完全数可自动还原欧几里得–欧拉形式 2^(p−1)·(2^p − 1)，同时支持展开展示真因子列表。

## 输入项

- **数值 n** (text): 1 ≤ n ≤ 10¹² (trial-division factorization bound).
- **输出详细度** (select)

## 适用场景

- 需要检验某个整数（最高至 10¹²）是否等于其所有真因子之和时。
- 学习或研究初等数论，需要快速获取数字的素因数分解式与除数和 σ(n) 时。
- 分析数字的充裕指数以判定其属于亏数、盈数还是完全数，并核对欧几里得–欧拉对应梅森素数时。

## 工作原理

- 输入待检测的正整数 n（1 ≤ n ≤ 10¹²），并选择是否展开展示真因子列表。
- 系统对 n 执行试除质因数分解，利用素数幂乘积公式精确计算全部因子之和 σ(n)。
- 计算真因子和 σ(n) − n 与充裕指数 σ(n)/n，输出亏数/完全数/盈数判定结果及欧几里得–欧拉形式分析。

## 使用案例

- 中学及大学数论课程中辅助验证因子和定理与完全数性质。
- 程序算法竞赛中核对大数质因数分解与除数函数 σ(n) 的理论值。
- 数学趣味探索与梅森素数（Mersenne Prime）关联关系的验证。

## 常见问题

### 什么是完全数？

完全数是指等于其所有真因子（除自身以外的正因数）之和的正整数，数学上等价于 σ(n) = 2n。

### 该工具支持的最大计算范围是多少？

支持 1 到 10¹²（一万亿）以内的任意正整数判定。

### 什么是充裕指数（Abundancy Index）？

充裕指数为 σ(n)/n。完全数的充裕指数严格等于 2，亏数小于 2，盈数大于 2。

### 为什么有些数字不展示完整的真因子列表？

当“输出详细度”选择仅分类与统计，或数字的真因子总数超过 200 个时，系统将省略详细因子列表以保证页面性能与简洁性。

### 10¹² 以内一共有多少个完全数？

在 10¹² 范围内共有 7 个偶完全数，分别是 6、28、496、8128、33550336、8589869056 和 137438691328。

## 相关工具

- [量纲分析单位约分导师](https://elysiatools.com/zh/tools/dimensional-analysis-unit-cancellation-tutor): 将单位换算拆成逐步 factor-label 约分：显示分子/分母单位如何消去，自动识别倒置换算因子，并对维度不一致与学生数值答案给出教学反馈。
- [PERT 网络分析器（期望工期/方差/完工概率）](https://elysiatools.com/zh/tools/pert-network-analyzer): 对 2–20 个活动做 PERT 三点估计分析（每行：名称、乐观 a、最可能 m、悲观 b、紧前活动）：te = (a+4m+b)/6，σ² = ((b−a)/6)²；在 te 上运行 CPM 得关键路径、期望项目工期 TE 与项目方差（关键路径上 σ² 之和）；给出目标工期 T 时按正态近似计算 Z = (T−TE)/σ 与完工概率 Φ(Z)。a≤m≤b 违规、循环依赖按业务拒绝；σ≈0 的确定性网络按确定性处理。经典例：A(2,4,6)、B(3,5,7)、C(2,3,10)、D(4,6,8, B C) → TE = 15，σ² = 1.3333，T = 16 时概率 ≈ 80.7%。
- [素数检查器](https://elysiatools.com/zh/tools/prime-number-checker): 检查一个数字是否为素数（大于1且只能被1和自身整除的自然数）
- [M/M/c 多服务台排队计算器](https://elysiatools.com/zh/tools/queuing-theory-mmc): 计算 M/M/c 多服务台排队系统的稳态指标（泊松到达率 λ、c 个相同指数服务台、各台服务率 μ、共享 FCFS 队列）：给出通达量 a = λ/μ、每台利用率 ρ、系统空闲概率 P0、Erlang-C 等待概率 Pw、队列平均人数 Lq、系统平均人数 L、平均逗留时间 W 与等待时间 Wq，并用 Little 公式与 Pw→Lq 关系交叉验证。要求 λ < cμ，否则按业务拒绝（不稳定）；c = 1 时公式退化为 M/M/1。经典例：λ = 6/小时、μ = 3/小时、c = 3 → P0 = 0.1111、Pw = 0.4444、Lq = 0.8889、L = 2.8889。
- [威尔逊定理素性判定器](https://elysiatools.com/zh/tools/wilson-theorem-checker): 用威尔逊定理判定素性：当且仅当 n 为素数时 (n−1)! ≡ −1 (mod n)。逐项累加 (n−1)! mod n（n ≤ 10⁷），与确定性 Miller–Rabin 交叉验证，并对合数 n 检验合数阶乘律（n > 4 时 (n−1)! ≡ 0 (mod n)，唯一例外 n = 4）。可显示 k! mod n 的逐步乘积序列（n ≤ 200）。
- [质因数分解器](https://elysiatools.com/zh/tools/prime-factorization): 将任意整数分解为其质因数，包含详细分析和数学性质。
- [二次剩余判定器（Legendre / Jacobi 符号）](https://elysiatools.com/zh/tools/quadratic-residue-checker): 计算 Jacobi 符号 (a/n)（n 为奇数，可达 10¹⁸；素数时即 Legendre 符号）：素数模下 a^((n−1)/2) ≡ 1 判定为二次剩余，并用 Tonelli–Shanks（或 p ≡ 3 (mod 4) 时的直接公式）给出平方根 ±√a；符号为 −1 则 a 一定不是二次剩余。合数模下 Jacobi 符号只是必要条件：−1 证明非剩余，+1 不确定（n ≤ 10⁵ 时自动暴力枚举求真相）。经典例：10 是 mod 13 的二次剩余，根为 ±6。
- [三相短路电流估算计算器（IEC 60909）](https://elysiatools.com/zh/tools/short-circuit-current-calculator): 按 IEC 60909 远端短路法估算三相对称短路电流：I"_k = c·U_n/(√3·|Z|)，i_p = κ·√2·I"_k。阻抗由变压器与线路串联累加；峰值系数 κ = 1.02 + 0.98·e^(−3R/X)。

## 示例

- [Web Python 图像处理示例](https://elysiatools.com/zh/samples/web-image-processing-python): Web Python 图像处理示例，使用 PIL/Pillow 包括读取、保存、缩放和格式转换
- [欧盟VAT号示例](https://elysiatools.com/zh/samples/eu-vat): 用于验证测试的所有欧盟成员国VAT号码集合
- [全球手机号码示例](https://elysiatools.com/zh/samples/global-phone): 来自多个国家的手机号码集合，用于验证测试
- [数字和货币示例](https://elysiatools.com/zh/samples/number-currency-samples): 用于测试货币提取的各种数字和货币格式文本