# 部分分式分解计算器（有理函数）

对有理函数 F(x) = N(x)/D(x) 做部分分式分解（分母次数 ≤ 6，分子次数 ≤ 8，假分式自动先做多项式长除）：Durand-Kerner 求分母根并按重数/共轭对分组，解多项式系数线性方程组得到 A/(x−r)^j 与 (Bx+C)/((x−α)²+β²) 形式的分解，并在代数探针点做数值残差验证。经典例：(3x+5)/(x²+3x+2) = 2/(x+1) + 1/(x+2)；(x³+2x)/(x²+1) = x + x/(x²+1)；1/(x(x+1)²) = 1/x − 1/(x+1) − 1/(x+1)²。

> 标准页面: https://elysiatools.com/zh/tools/partial-fraction-decomposer

- **分类:** Math & Numbers

- **关键词:** 部分分式, 部分分式分解, 有理函数, 多项式长除法, 复根, 重根, 共轭复根, 代数, 积分计算

## 概述

部分分式分解计算器用于将有理函数 F(x) = N(x)/D(x) 拆解为标准部分分式之和。工具支持分子最高 8 次、分母最高 6 次的多项式，对假分式自动执行多项式长除法提取多项式部分，通过 Durand-Kerner 算法求解分母根并识别实单根、重根及共轭复根，最终输出待定系数拆解结果与代数探针点数值残差验证。

## 输入项

- **分子系数 N(x)（常数项在前）** (text): Comma-separated numerator coefficients, constant term first, degree ≤ 8, e.g. 5,3 → 3x + 5.
- **分母系数 D(x)（常数项在前）** (text): Comma-separated denominator coefficients, constant term first, degree 1–6, e.g. 2,3,1 → x² + 3x + 2.
- **小数位数** (number)

## 适用场景

- 在高等数学与微积分中求解复杂有理函数的逐项不定积分或定积分时
- 在控制工程与信号处理中求解系统传递函数的拉普拉斯反变换或 Z 变换时
- 需要验证分母含重根或不可约二次因式的代数化简与多项式长除法过程时

## 工作原理

- 输入分子与分母的多项式系数（按升幂排列，常数项在前），设定计算显示的小数位数
- 若分子次数不小于分母次数，算法自动执行多项式长除法，分解为多项式商 Q(x) 与真分式余式 R(x)/D(x)
- 利用 Durand-Kerner 算法求出分母 D(x) 的所有实根与共轭复根，并根据重数建立线性方程组求解待定系数
- 输出标准分解式 A/(x−r)^j 与 (Bx+C)/((x−α)²+β²)，并在测试点计算残差以确保数值准确性

## 使用案例

- 微积分学习：快速将有理分式展开为可积分的对数项与反正切项形式
- 控制系统分析：将 s 域有理传递函数分解为一阶与二阶子系统以便进行时域响应分析
- 工程数学验算：自动验证复杂多项式因式分解、长除法余式及线性方程组解

## 常见问题

### 系数输入的顺序是怎样的？

必须按常数项在前的升幂顺序用英文逗号分隔输入，例如 3x + 5 输入为“5,3”，x² + 3x + 2 输入为“2,3,1”。

### 如果分子次数大于或等于分母次数，工具如何处理？

工具会自动先进行多项式长除法，将假分式拆分为多项式整式部分与真分式部分，再对真分式进行部分分式分解。

### 分母含有不可约二次因式（共轭复根）时如何表示？

包含共轭复根的因式会组合为实系数二次项形式，其分子对应为形如 (Bx + C)/((x−α)² + β²) 的线性多项式。

### 支持的最大多项式次数是多少？

分母多项式 D(x) 次数支持 1 至 6 次，分子多项式 N(x) 次数支持最高 8 次。

### 输出结果中的残差验证（Residual Verification）是什么意思？

工具会在特定的代数探针点代入原式与分解式计算差值，残差接近 0（如 1e-16）即证明分解结果在数值上完全等价。

## 相关工具

- [分数小数转换器](https://elysiatools.com/zh/tools/fraction-decimal-converter): 在分数和小数之间转换，支持带分数、假分数和各种小数格式
- [拉普拉斯逆变换计算器（部分分式法）](https://elysiatools.com/zh/tools/inverse-laplace-calculator): 对有理函数 F(s) = N(s)/D(s)（真分式，分母次数 ≤ 6）求拉普拉斯逆变换：先对分母求根并按重数/共轭对分组，再解多项式系数线性方程组得到部分分式分解，最后逐项查表反变换（A/(s−r)→Ae^(rt)、A/(s−r)^j→At^(j−1)e^(rt)/(j−1)!、(Bs+C)/((s−α)²+β²)→e^(αt)\[Bcos(βt)+…sin(βt)\]）。经典例：1/(s²+3s+2) → e^(−t)−e^(−2t)；(3s+5)/(s²+4) → 3cos(2t)+2.5sin(2t)。
- [拉普拉斯变换计算器（常用函数对查表）](https://elysiatools.com/zh/tools/laplace-transform-calculator): 查表求常用函数的拉普拉斯变换 F(s) = ∫₀^∞ e^(−st)f(t)dt：覆盖 14 组标准变换对（1、t、tⁿ、e^(at)、tⁿe^(at)、sin/cos(kt) 及其指数移位、sinh/cosh、t·sin/t·cos、δ(t)），带参数代入、收敛域（如 s > a）、推导要点，并可在指定 s 处数值求值（自动校验收敛）。示例：L{e^t} = 1/(s−1)，s>1，F(2) = 1。
- [二阶常系数线性微分方程求解器（特征方程法）](https://elysiatools.com/zh/tools/second-order-ode-solver): 求解 a·y'' + b·y' + c·y = f(x)：解特征方程 ar² + br + c = 0，按判别式给出齐次解（两相异实根 / 二重根 / 共轭复根），用待定系数法求特解（含共振：k 为特征根时试探解乘 x^m），支持常数、多项式、A·e^(kx) 与 A·sin(kx)+B·cos(kx) 右端项；给定 y(x₀) 与 y'(x₀) 时由 2×2 线性方程组定出 C1、C2。经典例：y''−3y'+2y=0，y(0)=1，y'(0)=0 → y = −e^(2x)+2e^x。
- [Z 变换计算器（离散系统，查表）](https://elysiatools.com/zh/tools/z-transform-calculator): 查表求离散序列的单边 Z 变换 X(z) = Σₙ₌₀^∞ x\[n\]·z^(−n)：覆盖 11 组标准变换对（δ\[n\]、u\[n\]、aⁿ、n、n²、n·aⁿ、sin/cos(ω₀n)、aⁿ·sin/aⁿ·cos、(−1)ⁿ），带参数代入、收敛域 |z| > R、推导要点，并可在指定 z 处数值求值（自动校验收敛）。示例：Z{0.5ⁿ} = z/(z−0.5)，|z| > 0.5，X(2) = 4/3。
- [换气次数 ACH 计算器（n = Q/V）](https://elysiatools.com/zh/tools/air-changes-per-hour): 由新风风量 Q 与房间体积 V 求换气次数 n=Q/V（单位 1/h）。支持三种模式：求 n（给 Q、V）、求风量 Q（给 n、V）、求体积 V（给 n、Q）。风量支持 m³/s/m³/h/CFM，体积支持 m³/ft³/L。并按完全混合单区衰减模型给出达到设定净化目标（剩余比例，默认 1%）所需时间 t=−ln(ε)/n。
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## 示例

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