# 梯形法数值积分器（∫f(x)dx） 用复合梯形法计算 ∫ₐᵇ f(x)dx：T = h/2·(f(a) + 2Σf(xᵢ) + f(b))，逐节点给出数值表、积分估计与可选的精确值/绝对误差对比，误差为 O(h²)（对线性函数精确）。示例：∫₀¹x²dx 取 n=4 得 0.34375，与精确值 1/3 相差 0.010417。 > 标准页面: https://elysiatools.com/zh/tools/numerical-integration-trapezoid - **分类:** Math & Numbers - **关键词:** 梯形法, 梯形公式, 数值积分, 定积分, 积分计算器, 求积公式, 数值方法, 微积分, 复合梯形, 近似积分 ## 概述 梯形法数值积分器采用复合梯形求积公式计算定积分 ∫ₐᵇ f(x)dx。工具将积分区间划分为指定数量的子区间，输出各离散节点的函数值列表与积分估计值，并支持输入原函数以对比精确值和绝对误差。 ## 输入项 - **被积函数 f(x)** (text): Integrand in x (functions: sin, cos, exp, ln, sqrt, …). - **下限 a** (number): e.g. 0 - **上限 b** (number): May be less than a (the integral flips sign, as in calculus). - **子区间数 n** (number): h = (b − a)/n. More subintervals → smaller error, O(h²) globally. - **精确原函数 F(x)（可选）** (text): Exact antiderivative in x; the tool reports F(b) − F(a) and the absolute error. Leave empty to skip. - **小数位数** (number) ## 适用场景 - 被积函数难以求出解析原函数，需要通过数值逼近求解定积分值时。 - 验证数值分析与微积分课程中复合梯形公式的离散计算步骤与截断误差时。 - 需要观察子区间划分数 n 对积分估算精度及 O(h²) 误差收敛的影响时。 ## 工作原理 - 输入被积表达式 f(x)、积分下限 a、积分上限 b 与子区间划分数 n，系统计算步长 h = (b - a) / n。 - 在区间内均匀采样节点 xᵢ = a + i·h（i = 0, 1, ..., n），并计算对应的函数值 f(xᵢ)。 - 应用复合梯形公式 T = (h / 2) · \[f(a) + 2Σf(xᵢ) + f(b)\] 累加计算出积分估计值。 - 若提供了原函数 F(x)，工具会计算 F(b) - F(a) 并输出估算值与理论值的绝对误差。 ## 使用案例 - 微积分与数值分析教学：演示离散节点求和与积分逼近的数学过程。 - 工程算法验证：在嵌入式或数值仿真系统上线前，快速校验梯形积分的基准结果。 - 实验数据与函数定积分估算：对已知解析表达式但无法求初等原函数的积分进行近似求解。 ## 常见问题 ### 积分上限 b 可以小于下限 a 吗？ 可以。当上限小于下限时，步长 h 为负数，计算结果遵循微积分积分方向变号的性质。 ### 复合梯形法的理论截断误差是多少？ 全局截断误差为 O(h²)，当子区间数 n 翻倍时，步长减半，理论误差约缩小到原来的四分之一。 ### 精确原函数 F(x) 是必填项吗？ 不是必填项。留空时工具仅输出梯形估计值和节点数据表，不计算绝对误差。 ### 被积函数支持哪些数学表达式？ 支持常见初等数学函数与运算符，包括 sin、cos、exp、ln、sqrt 及幂函数等。 ### 最大支持将区间划分为多少个子区间？ 子区间数 n 最小为 1，最大支持设置为 100000。 ## 相关工具 - [一阶微分方程求解器（分离变量法）](https://elysiatools.com/zh/tools/first-order-ode-solver): 用分离变量法求解 dy/dx = g(x)·h(y)：分离变量、两侧逐项积分得 H(y) = G(x) + C，能反解时给出显式解 y = f(x)。支持单项 h(y)（y、y^n、e^(ky)、ky+m）以及可用部分分式分解的二次多项式（如逻辑斯蒂方程的 y(1−y)）；给定初始条件 y(x₀)=y₀ 时算出常数 C，并检测平衡解。示例：dy/dx = 2x·y → y = e^(x²+C)。 - [Newton-Raphson 迭代求根计算器](https://elysiatools.com/zh/tools/newton-raphson-root-finder): 用 Newton-Raphson 迭代 x_{k+1} = x_k − f(x_k)/f'(x_k) 求 f(x) = 0 的根：导数可给定解析表达式（留空则用中心差分数值导数），输出逐步迭代表（x_k 与 f(x_k)）、收敛判据（|f| < 容差或 |Δx| < 容差·max(1,|x|)）、迭代次数与最终 |f(root)|。经典例：x²−2 从 x₀=1 出发 4 步收敛到 √2 ≈ 1.4142135624；cos(x)−x 收敛到 Dottie 数 0.7390851332。导数为零、步长发散或超出迭代上限会明确报告。 - [Simpson 辛普森法数值积分器（∫f(x)dx）](https://elysiatools.com/zh/tools/numerical-integration-simpson): 用复合 Simpson 1/3 法计算 ∫ₐᵇ f(x)dx（n 为偶数）：S = h/3·(f(a) + 4Σ奇节点 + 2Σ偶内节点 + f(b))，误差 O(h⁴)，对三次及以下多项式精确。逐节点数值表 + 积分估计 + 可选精确值/误差对比。示例：∫₀¹x²dx 取 n=4 得 0.333333（精确！）；∫₀¹e^(−x²)dx（无初等原函数）取 n=10 得 0.746825。 - [四阶 Runge-Kutta（RK4）数值求解器](https://elysiatools.com/zh/tools/runge-kutta-rk4-solver): 用经典四阶 Runge-Kutta（RK4）法求解初值问题 dy/dx = f(x,y)、y(x₀)=y₀：每步计算 k1–k4 四个斜率并加权更新 y_{n+1} = y_n + h/6·(k1+2k2+2k3+k4)，全局误差 O(h⁴)——步长减半误差约缩小 16 倍。输出逐步数值表、前几步的 k1–k4 明细与最终估计；可选填精确解 y(x) 显示误差列。示例：dy/dx = y、y(0)=1、h=0.1 时 y(1) ≈ 2.718282，与 e 几乎一致。 - [级数收敛性判别器（比值/根值/积分/比较）](https://elysiatools.com/zh/tools/series-convergence-tester): 判别数项级数 Σ aₙ 的收敛性（aₙ 为 n 的表达式）：按序运行项判别法（aₙ → 0?）、比值判别法 L = |aₙ₊₁/aₙ|、根值判别法 ρ = |aₙ|^(1/n)、p-级数比较估计 p = −ln|a(N)|/ln N，以及积分判别法（Simpson 数值积分 + 逐十进位增长比较）；交错级数自动识别并用 Leibniz 判别法分类条件收敛，收敛时还给出和的估计（部分和 + 几何/p 律尾部）。经典例：Σ1/n² 收敛（p≈2，和≈1.6449）；Σ1/n 发散（调和）；Σ0.5ⁿ 收敛；Σcos(πn)/n 条件收敛（和≈−ln2）。 - [偏度分析器](https://elysiatools.com/zh/tools/skewness-analyzer): 分析数据偏度来衡量概率分布的不对称性并识别数据模式 - [卷积积分计算器（数值）](https://elysiatools.com/zh/tools/convolution-integral-calculator): 数值计算两个信号的卷积 (f*g)(t) = ∫ f(τ)g(t−τ)dτ：支持因果模式（两信号在 t<0 时取 0，积分区间 \[max(τmin,0), min(τmax,t)\]，适配拉普拉斯域乘积）与直接窗口模式（在整个 \[τmin, τmax\] 上积分，适配高斯等双边信号），采用复合 Simpson 公式（默认 2000 区间）。经典例：e^(−t)*e^(−2t) = e^(−t)−e^(−2t)，t=1 时为 0.2325；两个高斯卷积仍为高斯：√(π/2)·e^(−t²/2)。 - [Euler 法数值求解器（一阶 ODE 前向欧拉）](https://elysiatools.com/zh/tools/euler-method-solver): 用显式（前向）Euler 法求解初值问题 dy/dx = f(x,y)、y(x₀)=y₀：迭代 y_{n+1} = y_n + h·f(x_n, y_n)，逐步给出数值表与最终估计 y(目标)。可选填精确解 y(x) 以显示每步绝对误差，直观呈现一阶方法的 O(h) 全局误差。示例：dy/dx = y、y(0)=1、h=0.1 时 y(1) ≈ 1.1¹⁰ = 2.593742，与 e = 2.718282 相比误差 0.124539。 ## 示例 - [Web Python 图像处理示例](https://elysiatools.com/zh/samples/web-image-processing-python): Web Python 图像处理示例，使用 PIL/Pillow 包括读取、保存、缩放和格式转换 - [Android Java 图像处理示例](https://elysiatools.com/zh/samples/android-image-processing-java): Android Java 图像处理示例，包括图像读取保存、缩放和格式转换 - [Android Kotlin 图像处理示例](https://elysiatools.com/zh/samples/android-image-processing-kotlin): Android Kotlin 图像处理示例，包括图像读取保存、缩放和格式转换 - [Web Rust 图像处理示例](https://elysiatools.com/zh/samples/web-image-processing-rust): Web Rust 图像处理示例，包括图像读取保存、缩放和格式转换 ## 相关内容 - [音频编码与格式转换工具](https://elysiatools.com/zh/hubs/audio-convert): 在一个专题里比较音频格式转换、码率调整、采样率转换、编码切换和导出工具，适合交付与归档工作流。 - [图片格式转换与动画导出工具](https://elysiatools.com/zh/hubs/image-convert): 在一个专题里比较 JPG、PNG、GIF、AVIF、WebP、TIFF、ICO、base64 以及动画导出相关的图片格式转换工具。 - [JSON 交换与格式翻译工具](https://elysiatools.com/zh/hubs/json-convert): 在一个专题里比较 JSON 与 CSV、YAML、TOML、GraphQL、XML、Markdown、Excel、BSON、EDN 等结构化格式之间的转换工具。 - [面向网页与印刷的色彩空间转换工具](https://elysiatools.com/zh/hubs/design-convert): 围绕网页到印刷的色彩空间转换整理的一组工具。