# Simpson 辛普森法数值积分器（∫f(x)dx） 用复合 Simpson 1/3 法计算 ∫ₐᵇ f(x)dx（n 为偶数）：S = h/3·(f(a) + 4Σ奇节点 + 2Σ偶内节点 + f(b))，误差 O(h⁴)，对三次及以下多项式精确。逐节点数值表 + 积分估计 + 可选精确值/误差对比。示例：∫₀¹x²dx 取 n=4 得 0.333333（精确！）；∫₀¹e^(−x²)dx（无初等原函数）取 n=10 得 0.746825。 > 标准页面: https://elysiatools.com/zh/tools/numerical-integration-simpson - **分类:** Math & Numbers - **关键词:** 辛普森法, 辛普森公式, 数值积分, 定积分, 积分计算器, 求积公式, 数值方法, 微积分, 复合辛普森, 抛物线法 ## 概述 本工具采用复合 Simpson 1/3（辛普森）求积公式，用于快速计算一元函数在给定区间的定积分数值解。算法具有 O(h⁴) 的代数精度，能够输出包含节点坐标、函数值及权重的详细求积表，并支持输入精确原函数以对比绝对误差。 ## 输入项 - **被积函数 f(x)** (text): Integrand in x (functions: sin, cos, exp, ln, sqrt, …). - **下限 a** (number): e.g. 0 - **上限 b** (number): May be less than a (the integral flips sign, as in calculus). - **子区间数 n（偶数）** (number): Must be even. h = (b − a)/n; global error is O(h⁴) — halving h divides the error by ~16. - **精确原函数 F(x)（可选）** (text): Exact antiderivative in x; the tool reports F(b) − F(a) and the absolute error. Leave empty to skip. - **小数位数** (number) ## 适用场景 - 被积函数形式复杂或无法求出初等原函数（如高斯积分、椭圆积分等）需要数值近似时。 - 学习或讲授数值分析、高等数学微积分课程，需要核对复合辛普森法逐步节点计算过程时。 - 工程与科学建模中需要验证数值积分精度并估算积分截断误差时。 ## 工作原理 - 输入被积函数表达式 f(x)，并设置积分下限 a、积分上限 b 与偶数子区间数 n。 - 系统自动计算步长 h = (b - a) / n，并在各等分节点 x_i 上计算对应的函数值 f(x_i)。 - 应用复合辛普森 1/3 权重公式 S = (h / 3) * \[f(a) + 4Σf(奇数节点) + 2Σf(偶数内节点) + f(b)\] 进行加权求和。 - 若填写了精确原函数 F(x)，工具将同步计算 F(b) - F(a) 并输出绝对误差与设定小数位数的格式化结果。 ## 使用案例 - 无初等原函数的定积分求值（例如计算正态分布相关的 exp(-x^2) 积分）。 - 数值分析与科学计算教学中的算法手工推导与上机实验验证。 - 工程力学与信号处理中平滑曲线下面积的快速数值离散化近似。 ## 常见问题 ### 为什么子区间数 n 必须设置为偶数？ 复合 Simpson 1/3 法每两段相邻子区间构成一个二次抛物线拟合单元，因此区间总数 n 必须是偶数。 ### 辛普森法的截断误差是多少？ 复合辛普森法的整体截断误差阶数为 O(h⁴)，对三次及以下的多项式函数积分结果在理论上完全精确。 ### 积分上限 b 可以小于积分下限 a 吗？ 可以。当上限小于下限时，步长 h 为负值，计算出的定积分结果会自动反号，符合微积分定义。 ### 工具支持哪些数学函数输入？ 支持常见初等函数表达式，包括 sin、cos、tan、exp、ln、sqrt、幂运算（如 x^2）及各类复合算式。 ### 不填写“精确原函数 F(x)”会有影响吗？ 不会。该参数为选填项，留空时仅输出辛普森数值积分估计值与节点明细，不展示误差对比。 ## 相关工具 - [一阶微分方程求解器（分离变量法）](https://elysiatools.com/zh/tools/first-order-ode-solver): 用分离变量法求解 dy/dx = g(x)·h(y)：分离变量、两侧逐项积分得 H(y) = G(x) + C，能反解时给出显式解 y = f(x)。支持单项 h(y)（y、y^n、e^(ky)、ky+m）以及可用部分分式分解的二次多项式（如逻辑斯蒂方程的 y(1−y)）；给定初始条件 y(x₀)=y₀ 时算出常数 C，并检测平衡解。示例：dy/dx = 2x·y → y = e^(x²+C)。 - [Newton-Raphson 迭代求根计算器](https://elysiatools.com/zh/tools/newton-raphson-root-finder): 用 Newton-Raphson 迭代 x_{k+1} = x_k − f(x_k)/f'(x_k) 求 f(x) = 0 的根：导数可给定解析表达式（留空则用中心差分数值导数），输出逐步迭代表（x_k 与 f(x_k)）、收敛判据（|f| < 容差或 |Δx| < 容差·max(1,|x|)）、迭代次数与最终 |f(root)|。经典例：x²−2 从 x₀=1 出发 4 步收敛到 √2 ≈ 1.4142135624；cos(x)−x 收敛到 Dottie 数 0.7390851332。导数为零、步长发散或超出迭代上限会明确报告。 - [梯形法数值积分器（∫f(x)dx）](https://elysiatools.com/zh/tools/numerical-integration-trapezoid): 用复合梯形法计算 ∫ₐᵇ f(x)dx：T = h/2·(f(a) + 2Σf(xᵢ) + f(b))，逐节点给出数值表、积分估计与可选的精确值/绝对误差对比，误差为 O(h²)（对线性函数精确）。示例：∫₀¹x²dx 取 n=4 得 0.34375，与精确值 1/3 相差 0.010417。 - [四阶 Runge-Kutta（RK4）数值求解器](https://elysiatools.com/zh/tools/runge-kutta-rk4-solver): 用经典四阶 Runge-Kutta（RK4）法求解初值问题 dy/dx = f(x,y)、y(x₀)=y₀：每步计算 k1–k4 四个斜率并加权更新 y_{n+1} = y_n + h/6·(k1+2k2+2k3+k4)，全局误差 O(h⁴)——步长减半误差约缩小 16 倍。输出逐步数值表、前几步的 k1–k4 明细与最终估计；可选填精确解 y(x) 显示误差列。示例：dy/dx = y、y(0)=1、h=0.1 时 y(1) ≈ 2.718282，与 e 几乎一致。 - [级数收敛性判别器（比值/根值/积分/比较）](https://elysiatools.com/zh/tools/series-convergence-tester): 判别数项级数 Σ aₙ 的收敛性（aₙ 为 n 的表达式）：按序运行项判别法（aₙ → 0?）、比值判别法 L = |aₙ₊₁/aₙ|、根值判别法 ρ = |aₙ|^(1/n)、p-级数比较估计 p = −ln|a(N)|/ln N，以及积分判别法（Simpson 数值积分 + 逐十进位增长比较）；交错级数自动识别并用 Leibniz 判别法分类条件收敛，收敛时还给出和的估计（部分和 + 几何/p 律尾部）。经典例：Σ1/n² 收敛（p≈2，和≈1.6449）；Σ1/n 发散（调和）；Σ0.5ⁿ 收敛；Σcos(πn)/n 条件收敛（和≈−ln2）。 - [卷积积分计算器（数值）](https://elysiatools.com/zh/tools/convolution-integral-calculator): 数值计算两个信号的卷积 (f*g)(t) = ∫ f(τ)g(t−τ)dτ：支持因果模式（两信号在 t<0 时取 0，积分区间 \[max(τmin,0), min(τmax,t)\]，适配拉普拉斯域乘积）与直接窗口模式（在整个 \[τmin, τmax\] 上积分，适配高斯等双边信号），采用复合 Simpson 公式（默认 2000 区间）。经典例：e^(−t)*e^(−2t) = e^(−t)−e^(−2t)，t=1 时为 0.2325；两个高斯卷积仍为高斯：√(π/2)·e^(−t²/2)。 - [Euler 法数值求解器（一阶 ODE 前向欧拉）](https://elysiatools.com/zh/tools/euler-method-solver): 用显式（前向）Euler 法求解初值问题 dy/dx = f(x,y)、y(x₀)=y₀：迭代 y_{n+1} = y_n + h·f(x_n, y_n)，逐步给出数值表与最终估计 y(目标)。可选填精确解 y(x) 以显示每步绝对误差，直观呈现一阶方法的 O(h) 全局误差。示例：dy/dx = y、y(0)=1、h=0.1 时 y(1) ≈ 1.1¹⁰ = 2.593742，与 e = 2.718282 相比误差 0.124539。 - [健身训练 PDF 生成器](https://elysiatools.com/zh/tools/fitness-workout-pdf-generator): 从 JSON 或 CSV 训练计划数据生成可打印 PDF，包含动作表格、进度格子和可选的视频二维码 ## 示例 - [Web Python 图像处理示例](https://elysiatools.com/zh/samples/web-image-processing-python): Web Python 图像处理示例，使用 PIL/Pillow 包括读取、保存、缩放和格式转换 - [Android Java 图像处理示例](https://elysiatools.com/zh/samples/android-image-processing-java): Android Java 图像处理示例，包括图像读取保存、缩放和格式转换 - [Android Kotlin 图像处理示例](https://elysiatools.com/zh/samples/android-image-processing-kotlin): Android Kotlin 图像处理示例，包括图像读取保存、缩放和格式转换 - [Web Rust 图像处理示例](https://elysiatools.com/zh/samples/web-image-processing-rust): Web Rust 图像处理示例，包括图像读取保存、缩放和格式转换 ## 相关内容 - [音频编码与格式转换工具](https://elysiatools.com/zh/hubs/audio-convert): 在一个专题里比较音频格式转换、码率调整、采样率转换、编码切换和导出工具，适合交付与归档工作流。 - [图片格式转换与动画导出工具](https://elysiatools.com/zh/hubs/image-convert): 在一个专题里比较 JPG、PNG、GIF、AVIF、WebP、TIFF、ICO、base64 以及动画导出相关的图片格式转换工具。 - [JSON 交换与格式翻译工具](https://elysiatools.com/zh/hubs/json-convert): 在一个专题里比较 JSON 与 CSV、YAML、TOML、GraphQL、XML、Markdown、Excel、BSON、EDN 等结构化格式之间的转换工具。 - [面向网页与印刷的色彩空间转换工具](https://elysiatools.com/zh/hubs/design-convert): 围绕网页到印刷的色彩空间转换整理的一组工具。