# Lotka–Volterra 捕食者-猎物模型动态模拟器

求解并可视化经典 Lotka–Volterra 捕食者-猎口方程组 dN/dt = rN − aNP、dP/dt = bNP − mP：RK4 数值积分（6000 步，带 Hamilton 守恒量 V = bN − m·ln N + aP − r·ln P 漂移监控），输出猎物/捕食者相位振荡的时间序列曲线与闭合轨道相平面图（含共存平衡点 N*=m/b、P*=r/a 与线性化周期 T ≈ 2π/√(rm)）。自动检测周期数量与实测周期、种群振幅范围，并说明中性振荡的结构不稳定性——周期振幅完全由初始条件决定，真实系统会因密度依赖而阻尼或因富集悖论而自激。

> 标准页面: https://elysiatools.com/zh/tools/lotka-volterra-predator-prey

- **分类:** Health

- **关键词:** lotka volterra, 捕食者猎物, 猞猁雪兔, 种群周期, 种群动态, 相平面, 极限环, 共存平衡, 生态模拟器, 捕食模型, 振荡, rk4

## 概述

本工具用 RK4 数值积分（6000 步）求解经典 Lotka–Volterra 方程组 dN/dt = rN − aNP、dP/dt = bNP − mP，并监控 Hamilton 守恒量 V 的漂移。它输出猎物与捕食者相位振荡的时间序列曲线、含共存平衡点 N*=m/b、P*=r/a 的闭合轨道相平面图，自动检测周期数量、实测周期与种群振幅范围，并说明中性振荡的振幅完全由初始条件决定。

## 输入项

- **猎物增长率 r（每时间单位）** (number): Per-capita prey growth with no predators present.
- **捕食率 a（每捕食者）** (number): Removal of prey per encounter — multiplies N·P.
- **转化效率 b（猎物 → 捕食者）** (number): New predators produced per prey consumed — sets the prey level needed to sustain predators (N* = m/b).
- **捕食者死亡率 m（每时间单位）** (number): Per-capita predator death rate with no prey.
- **初始猎物种群 N₀** (number): Starting prey population — sets the orbit amplitude together with P₀.
- **初始捕食者种群 P₀** (number): Starting predator population.
- **模拟时长（时间单位）** (number): How long to integrate — a few cycle periods (T ≈ 2π/√(r·m)) make the orbit readable.

## 适用场景

- 需要从给定初始种群 N₀、P₀ 观察闭合轨道振幅与相位滞后时
- 要对比线性化周期 T ≈ 2π/√(rm) 与数值模拟实测周期时
- 教学或核对共存平衡点及守恒量漂移是否保持轨道闭合时

## 工作原理

- 填写猎物增长率 r、捕食率 a、转化效率 b、捕食者死亡率 m，以及初始猎物种群 N₀、初始捕食者种群 P₀ 和模拟时长 tMax。
- 工具以 RK4 积分 6000 步求解方程组，同时跟踪守恒量 V = bN − m·ln N + aP − r·ln P 的漂移。
- 生成时间序列振荡曲线与相平面闭合轨道图，并标出平衡点 N*=m/b、P*=r/a 及线性化周期。
- 自动统计周期数量、实测周期以及猎物与捕食者的振幅范围。

## 使用案例

- 演示猞猁-雪兔式种群周期与捕食者滞后四分之一周期的相位关系
- 改变 r、a、b、m 或初始种群，观察平衡点位置、周期缩短与振幅扩大
- 核对数值轨道是否闭合以及守恒量漂移是否足够小

## 常见问题

### 共存平衡点如何计算？

N* = m/b，P* = r/a，由四个速率参数直接确定，与初始种群无关。

### 线性化周期与实测周期有何不同？

线性化估计为 T ≈ 2π/√(rm)；工具同时从时间序列自动检测实测周期和周期数量。

### 振荡振幅由什么决定？

中性振荡的振幅完全由初始条件 N₀、P₀ 决定；同一组速率参数下不同起点对应不同大小的闭合轨道。

### Hamilton 守恒量漂移用来做什么？

用于监控 RK4 积分精度；漂移保持在极小量级（如 1e-12）可证实轨道闭合。

### 模拟输出包含哪些内容？

HTML 可视化：猎物/捕食者时间序列曲线、含平衡点的相平面闭合轨道，以及周期数、实测周期和振幅范围。

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