# 线性规划单纯形法求解器（两阶段）

用两阶段单纯形法求解小规模线性规划（2–6 个变量、1–8 个约束）：支持 max/min 与 ≤/≥/= 约束（右端为负自动规范化，≥/= 走阶段一人工变量），Bland 规则防循环；逐步输出每次迭代的进基/离基变量与目标值，报告最优解 x*、目标值及状态（最优/无界/无可行解），并将目标值代回验证。经典例：max 3x+5y s.t. x≤4, 2y≤12, 3x+2y≤18 → (2,6)，z=36；min 2x+3y s.t. x+y≥4, x+3y≥6 → (3,1)，z=9。

> 标准页面: https://elysiatools.com/zh/tools/linear-programming-simplex

- **分类:** Math & Numbers

- **关键词:** 线性规划, 单纯形法, 两阶段单纯形, 最优化, 目标函数, 约束条件, 布兰德规则, 运筹学, 对偶, 可行域

## 概述

线性规划单纯形法求解器采用标准两阶段单纯形算法，支持 2 至 6 个决策变量和 1 至 8 个线性约束的快速求解。工具支持最大化与最小化目标，能自动处理 ≤、≥ 与 = 等各类约束形式，并结合 Bland 规则防止退化循环。求解过程提供清晰的进基与离基变量迭代步骤，最终输出最优解向量、目标极值及代入验证结果。

## 输入项

- **目标函数系数（如 3, 5）** (text): Coefficients of the objective c·x, one per variable (2–6 numbers).
- **目标** (select)
- **约束（每行：系数、比较符、右端项）** (textarea): One constraint per line: coefficients (comma/space separated), then <=, >= or =, then the right-hand side. 1–8 lines.
- **小数位数** (number)

## 适用场景

- 需要求解包含 2 至 6 个变量、1 至 8 个不等式或等式约束的小规模线性规划问题时。
- 学习或讲授运筹学课程，需要核对两阶段单纯形法的进基变量、离基变量与中间迭代过程时。
- 在生产排产、配料混合或资源分配中，需要快速确定最优决策变量组合与极值时。

## 工作原理

- 输入目标函数各变量系数并选择优化目标（最大化 max 或最小化 min）。
- 按行输入约束条件的系数、比较关系（<=、>= 或 =）以及右端常数项（负常数项将自动规范化转换）。
- 系统通过引入松弛变量、剩余变量和阶段一人工变量构建单纯形表，采用 Bland 规则执行枢轴旋转迭代。
- 输出每一步迭代的进基与离基变量日志，展示解的状态（最优、无界或无可行解），并将最优解代回原约束完成验证。

## 使用案例

- 工厂产品组合优化：在机器工时与原材料限量约束下，计算利润最大化的产品生产数量。
- 饲料或原料配比优化：在满足各项营养成分或成分含量底线的前提下，计算成本最低的采购配比方案。
- 运筹学作业与考题验算：验证手算单纯形表的基变量变换、主元选取及最优目标值是否准确。

## 常见问题

### 什么是两阶段单纯形法？

当约束条件包含 ≥ 或 = 时，第一阶段通过引入人工变量寻找初始基本可行解，第二阶段在此基础上优化原目标函数。

### 输入支持多少个变量和约束条件？

本求解器支持 2 到 6 个决策变量以及 1 到 8 条约束条件，适合小规模模型求解与教学演算。

### 约束右端项出现负数时需要手动处理吗？

不需要，系统会自动将不等式两端乘以 -1 翻转符号，将右端项规范化为非负数后再进行求解。

### 求解器如何避免单纯形法中的循环退化？

求解器内置 Bland 规则，在存在多个可选的进基或离基变量时按最小下标选取，确保算法收敛。

### 无界解与无可行解会如何提示？

若第一阶段结束人工变量仍大于零，状态显示为无可行解；若迭代中找不到正的主元，则状态显示为无界解。

## 相关工具

- [相关性分析器](https://elysiatools.com/zh/tools/correlation-analyzer): 高级相关性分析工具，计算变量之间的相关系数以衡量它们线性关系的强度和方向。完美适用于统计分析、金融建模、科学研究和数据探索。 功能特点： - 多种相关性方法（皮尔逊、斯皮尔曼、肯德尔） - 相关性矩阵生成 - 统计显著性检验（p值） - 置信区间计算 - 热图可视化 - 散点图矩阵生成 - 缺失值处理策略 - 异常值检测和处理 - 分组分析能力 - 详细统计报告 常见用途： - 金融市场分析和风险评估 - 科学研究和假设检验 - 客户行为和营销分析 - 医疗和医疗数据分析 - 质量控制和流程优化 - 教育绩效评估
- [图像合成](https://elysiatools.com/zh/tools/image-composite): 将多张图像精确合成在一起，可控制位置、透明度和混合模式
- [图片区域提取](https://elysiatools.com/zh/tools/image-extract-region): 从图片中提取指定的矩形区域，支持自定义尺寸和位置
- [社交媒体模板装配图生成器](https://elysiatools.com/zh/tools/social-media-template-resize-grid): 上传一张主图,一次生成全套平台装配图:Instagram(1:1 / 4:5 / 3:4 网格 / Story / Reel)、X(头图 1500×500 / 信息流)、LinkedIn(个人横幅 / 公司封面 / 帖子图)、YouTube(缩略图 / 频道横幅)、Facebook 链接分享。每个裁剪预览叠加 2025-2026 已验证的安全区蒙版(Story 顶/底/侧边距、X 头像圆、LinkedIn 头像区、YouTube 时长角标),一键导出 ZIP。
- [单摆周期计算器 (T = 2π√(L/g))](https://elysiatools.com/zh/tools/pendulum-calculator): 由 T、L、g 中任意两个求第三个，并按振幅计算摆球最大速度与动能
- [抛体运动计算器 (射程/高度/时间)](https://elysiatools.com/zh/tools/projectile-motion-calculator): 由初速度、角度与可选初始高度，计算射程、最大高度、飞行时间并绘制轨迹
- [运输问题求解器（最小费用流）](https://elysiatools.com/zh/tools/transportation-problem): 把平衡运输问题作为最小费用流求解（2–8 个供应地 × 2–8 个目的地，要求总供应 = 总需求，不平衡会提示先补哑行/哑列）：每次增广沿残差网络中最短路径发货（SPFA 容忍残差弧的负费用），累计最短距离的相反数恰为 MODI 对偶变量 (u_i, v_j)。输出每次增广的路径与运量、完整运输方案、行列合计核对，以及 u/v 检验数矩阵与最优性证书（所有检验数 ≥ 0、基格 = 0）。经典例：3 供应地 \[30,40,30\]、4 目的地 \[20,30,30,20\]、单位运费 \[\[2,3,1,4\],\[4,2,5,3\],\[3,1,4,2\]\] → 最小总运费 200。
- [自适应 12 点隐藏水印](https://elysiatools.com/zh/tools/adaptive-12-point-hidden-watermark): 为单张图片或 ZIP 中每张支持图片，在全部、随机或指定的边缘点位添加低对比度文字水印，并按局部背景自动选择深色或浅色文字。

## 示例

- [Android Java 图像处理示例](https://elysiatools.com/zh/samples/android-image-processing-java): Android Java 图像处理示例，包括图像读取保存、缩放和格式转换
- [Android Kotlin 图像处理示例](https://elysiatools.com/zh/samples/android-image-processing-kotlin): Android Kotlin 图像处理示例，包括图像读取保存、缩放和格式转换
- [Web Python 图像处理示例](https://elysiatools.com/zh/samples/web-image-processing-python): Web Python 图像处理示例，使用 PIL/Pillow 包括读取、保存、缩放和格式转换
- [macOS Objective-C 图像处理示例](https://elysiatools.com/zh/samples/macos-image-processing-objectivec): macOS Objective-C 图像处理示例，包括图像读取保存、图像缩放和格式转换