# 拉普拉斯逆变换计算器（部分分式法） 对有理函数 F(s) = N(s)/D(s)（真分式，分母次数 ≤ 6）求拉普拉斯逆变换：先对分母求根并按重数/共轭对分组，再解多项式系数线性方程组得到部分分式分解，最后逐项查表反变换（A/(s−r)→Ae^(rt)、A/(s−r)^j→At^(j−1)e^(rt)/(j−1)!、(Bs+C)/((s−α)²+β²)→e^(αt)[Bcos(βt)+…sin(βt)]）。经典例：1/(s²+3s+2) → e^(−t)−e^(−2t)；(3s+5)/(s²+4) → 3cos(2t)+2.5sin(2t)。 > 标准页面: https://elysiatools.com/zh/tools/inverse-laplace-calculator - **分类:** Math & Numbers - **关键词:** 拉普拉斯逆变换, 部分分式, 有理函数, 拉氏变换对, 复根, 重根, 微分方程求解, 传递函数, 微积分 ## 概述 拉普拉斯逆变换计算器用于求解有理真分式 F(s) = N(s)/D(s) 的时域原函数 f(t)。工具通过对分母多项式求根并按实根、重根或共轭复根分组，自动建立线性方程组进行部分分式分解，再利用标准拉普拉斯变换对逐项反变换，快速输出清晰的分步推导过程与时域解析解。 ## 输入项 - **分子系数 N(s)（常数项在前）** (text): Comma-separated numerator coefficients, constant term first, e.g. 5,3 → 3s + 5. - **分母系数 D(s)（常数项在前）** (text): Comma-separated denominator coefficients, constant term first, degree ≤ 6, e.g. 2,3,1 → s² + 3s + 2. - **小数位数** (number) ## 适用场景 - 求解线性常微分方程或控制系统传递函数的时域时域响应时。 - 需要对高阶有理分式（分母阶数最高为 6）进行部分分式分解与手工验算时。 - 在电路暂态分析或信号处理中需要将 s 域表达式转换为 t 域解析式时。 ## 工作原理 - 输入分子 N(s) 与分母 D(s) 的多项式系数（按常数项在前、升幂排列的逗号分隔格式），并指定保留的小数位数。 - 算法对分母多项式求根，识别单实根、重根及共轭复根并构建部分分式待定系数线性方程组进行求解。 - 对照标准拉普拉斯变换对（单指数、幂指数及阻尼正余弦形式）逐项反变换，组合输出最终的时域表达式 f(t)。 ## 使用案例 - 控制系统分析：根据系统传递函数 G(s) 求解单位冲激响应或阶跃响应的时域解析形式。 - RLC 电路求解：将复频域阻抗方程得到的电压/电流有理式 I(s) 转化为时域暂态波形 i(t)。 - 课程学习与教学：在高等数学或信号与系统课程中快速验证部分分式展开推导步骤与反变换结果。 ## 常见问题 ### 如何正确输入多项式的系数？ 系数需按从常数项到高次项的升幂顺序以逗号分隔输入。例如 3s + 5 输入 5,3；s² + 3s + 2 输入 2,3,1；s² + 4 则输入 4,0,1。 ### 计算器支持分子次数大于或等于分母的多项式吗？ 本工具仅支持真分式（分子阶数严格小于分母阶数）。若是假分式，请先进行多项式长除法提取多项式项后再输入余式分式。 ### 分母多项式最高支持多少阶？ 分母多项式最高支持 6 次方（对应输入最多 7 个系数）。 ### 分母包含共轭复根时如何处理？ 系统会自动将共轭复根合并为标准的二次项形式，直接反变换为包含正弦和余弦的指数阻尼振荡项。 ### 计算结果的小数精度可以自定义吗？ 可以，通过修改“小数位数”参数（支持 0 到 8 位，默认为 4 位）调整数值计算与输出的保留精度。 ## 相关工具 - [拉普拉斯变换计算器（常用函数对查表）](https://elysiatools.com/zh/tools/laplace-transform-calculator): 查表求常用函数的拉普拉斯变换 F(s) = ∫₀^∞ e^(−st)f(t)dt：覆盖 14 组标准变换对（1、t、tⁿ、e^(at)、tⁿe^(at)、sin/cos(kt) 及其指数移位、sinh/cosh、t·sin/t·cos、δ(t)），带参数代入、收敛域（如 s > a）、推导要点，并可在指定 s 处数值求值（自动校验收敛）。示例：L{e^t} = 1/(s−1)，s>1，F(2) = 1。 - [部分分式分解计算器（有理函数）](https://elysiatools.com/zh/tools/partial-fraction-decomposer): 对有理函数 F(x) = N(x)/D(x) 做部分分式分解（分母次数 ≤ 6，分子次数 ≤ 8，假分式自动先做多项式长除）：Durand-Kerner 求分母根并按重数/共轭对分组，解多项式系数线性方程组得到 A/(x−r)^j 与 (Bx+C)/((x−α)²+β²) 形式的分解，并在代数探针点做数值残差验证。经典例：(3x+5)/(x²+3x+2) = 2/(x+1) + 1/(x+2)；(x³+2x)/(x²+1) = x + x/(x²+1)；1/(x(x+1)²) = 1/x − 1/(x+1) − 1/(x+1)²。 - [二阶常系数线性微分方程求解器（特征方程法）](https://elysiatools.com/zh/tools/second-order-ode-solver): 求解 a·y'' + b·y' + c·y = f(x)：解特征方程 ar² + br + c = 0，按判别式给出齐次解（两相异实根 / 二重根 / 共轭复根），用待定系数法求特解（含共振：k 为特征根时试探解乘 x^m），支持常数、多项式、A·e^(kx) 与 A·sin(kx)+B·cos(kx) 右端项；给定 y(x₀) 与 y'(x₀) 时由 2×2 线性方程组定出 C1、C2。经典例：y''−3y'+2y=0，y(0)=1，y'(0)=0 → y = −e^(2x)+2e^x。 - [Z 变换计算器（离散系统，查表）](https://elysiatools.com/zh/tools/z-transform-calculator): 查表求离散序列的单边 Z 变换 X(z) = Σₙ₌₀^∞ x\[n\]·z^(−n)：覆盖 11 组标准变换对（δ\[n\]、u\[n\]、aⁿ、n、n²、n·aⁿ、sin/cos(ω₀n)、aⁿ·sin/aⁿ·cos、(−1)ⁿ），带参数代入、收敛域 |z| > R、推导要点，并可在指定 z 处数值求值（自动校验收敛）。示例：Z{0.5ⁿ} = z/(z−0.5)，|z| > 0.5，X(2) = 4/3。 - [绝对值计算器](https://elysiatools.com/zh/tools/absolute-value-calculator): 计算正数、负数或小数的绝对值，并说明它与零点的距离关系 - [换气次数 ACH 计算器（n = Q/V）](https://elysiatools.com/zh/tools/air-changes-per-hour): 由新风风量 Q 与房间体积 V 求换气次数 n=Q/V（单位 1/h）。支持三种模式：求 n（给 Q、V）、求风量 Q（给 n、V）、求体积 V（给 n、Q）。风量支持 m³/s/m³/h/CFM，体积支持 m³/ft³/L。并按完全混合单区衰减模型给出达到设定净化目标（剩余比例，默认 1%）所需时间 t=−ln(ε)/n。 - [滚动轴承额定寿命 L10 计算器](https://elysiatools.com/zh/tools/bearing-life-l10): 计算滚动轴承基本额定寿命 L10 = (C/P)^p。球轴承 p=3，滚子轴承 p=10/3。给定转速时可换算为小时寿命 L10h。 - [螺栓扭矩预紧力计算器](https://elysiatools.com/zh/tools/bolt-torque-clamp-force): 计算螺栓拧紧扭矩与轴向预紧力的换算。T = K·F·d，K 为螺母系数（干钢约 0.20）。可由预紧力求扭矩，或由扭矩求预紧力。 ## 示例 - [Web Python 图像处理示例](https://elysiatools.com/zh/samples/web-image-processing-python): Web Python 图像处理示例，使用 PIL/Pillow 包括读取、保存、缩放和格式转换 - [Android Java 图像处理示例](https://elysiatools.com/zh/samples/android-image-processing-java): Android Java 图像处理示例，包括图像读取保存、缩放和格式转换 - [Android Kotlin 图像处理示例](https://elysiatools.com/zh/samples/android-image-processing-kotlin): Android Kotlin 图像处理示例，包括图像读取保存、缩放和格式转换 - [Web Rust 图像处理示例](https://elysiatools.com/zh/samples/web-image-processing-rust): Web Rust 图像处理示例，包括图像读取保存、缩放和格式转换 ## 相关内容 - [音频编码与格式转换工具](https://elysiatools.com/zh/hubs/audio-convert): 在一个专题里比较音频格式转换、码率调整、采样率转换、编码切换和导出工具，适合交付与归档工作流。 - [图片格式转换与动画导出工具](https://elysiatools.com/zh/hubs/image-convert): 在一个专题里比较 JPG、PNG、GIF、AVIF、WebP、TIFF、ICO、base64 以及动画导出相关的图片格式转换工具。 - [JSON 交换与格式翻译工具](https://elysiatools.com/zh/hubs/json-convert): 在一个专题里比较 JSON 与 CSV、YAML、TOML、GraphQL、XML、Markdown、Excel、BSON、EDN 等结构化格式之间的转换工具。 - [面向网页与印刷的色彩空间转换工具](https://elysiatools.com/zh/hubs/design-convert): 围绕网页到印刷的色彩空间转换整理的一组工具。