# 零和博弈求解器（鞍点 / 线性规划混合策略）

求解 2–6 × 2–6 双人零和博弈（支付矩阵归行方——最大化者，列方支付）：先做鞍点检验（行最小值的最大值 = 列最大值的最小值时存在纯策略均衡，列出所有鞍点格）；否则移位矩阵使元素 ≥ 1 后用单阶段单纯形（松弛基、Bland 规则）求解 max Σz s.t. Bz ≤ 1，其原始解给出列方混合策略 q，对偶影子价格恰为行方 LP 解 y，值移回后给出 x、q、v，并数值验证双方安全策略（xᵀA ≥ v、Aq ≤ v）与极小极大相等。经典例：猜硬币 [[1,-1],[-1,1]] → 值 0，双方各以 0.5/0.5 混合。

> 标准页面: https://elysiatools.com/zh/tools/game-theory-zero-sum

- **分类:** Math & Numbers

- **关键词:** 博弈论, 零和博弈, 鞍点, 混合策略, 极小极大, 纳什均衡, 线性规划, 影子价格, 支付矩阵, 运筹学

## 概述

本工具用于快速求解 2×2 至 6×6 规模的双人零和博弈问题。工具首先执行鞍点检验以判断是否存在纯策略纳什均衡；若无鞍点，则自动通过矩阵移位与单阶段单纯形法线性规划求解双方的最优混合策略（概率分布）、博弈期望值，并输出双方安全策略水平及极小极大验证结果。

## 输入项

- **支付矩阵（行方收益，每行一行）** (textarea): Payoffs to the row player (positive = row wins). 2–6 rows × 2–6 columns; the column player minimizes.
- **小数位数** (number)

## 适用场景

- 需要分析 2×2 到 6×6 支付矩阵是否存在纯策略鞍点均衡时。
- 双人零和博弈不存在鞍点，需要通过线性规划计算双方最优混合策略概率分布时。
- 验证博弈论作业或运筹学建模中的博弈值、影子价格以及安全策略不等式时。

## 工作原理

- 解析输入的支付矩阵，计算各行最小值与各列最大值，进行极大极小检验以寻找鞍点。
- 若无鞍点，自动将矩阵数值平移保证元素为正，构建对偶线性规划模型。
- 采用单纯形法结合 Bland 规则求解，从原始解与影子价格中提取双方混合策略概率与博弈值。
- 将平移值还原，并数值验证行方保障收益（xᵀA ≥ v）与列方损失控制（Aq ≤ v）。

## 使用案例

- 经济与运筹学教学中验证零和博弈与线性规划对偶理论的计算结果。
- 商业竞争对抗或拍卖竞标中的极小极大风险收益评估与策略配比制定。
- 游戏规则与竞技对战中的数值平衡性分析及最优防御反制概率测算。

## 常见问题

### 输入的矩阵格式有什么要求？

支持 2×2 至 6×6 的数字矩阵，每行输入一行数据，数值间使用逗号或空格分隔。

### 支付矩阵中的正负数值代表什么？

矩阵数值代表行行动者的收益；正值表示行方获利（列方支付），负值表示行方损失。

### 什么是纯策略鞍点？

当行最小值的最大值（Maximin）等于列最大值的最小值（Minimax）时，该位置即为鞍点纯策略均衡。

### 为什么无鞍点时需要矩阵移位？

移位可确保矩阵所有元素大于零，从而构建标准形式的单阶段单纯形线性规划求解混合策略。

### 如何调整计算结果的精度？

可通过设置小数位数参数（0 到 8 位）来自定义策略概率与博弈值的显示精度。

## 相关工具

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- [拉普拉斯变换计算器（常用函数对查表）](https://elysiatools.com/zh/tools/laplace-transform-calculator): 查表求常用函数的拉普拉斯变换 F(s) = ∫₀^∞ e^(−st)f(t)dt：覆盖 14 组标准变换对（1、t、tⁿ、e^(at)、tⁿe^(at)、sin/cos(kt) 及其指数移位、sinh/cosh、t·sin/t·cos、δ(t)），带参数代入、收敛域（如 s > a）、推导要点，并可在指定 s 处数值求值（自动校验收敛）。示例：L{e^t} = 1/(s−1)，s>1，F(2) = 1。
- [部分分式分解计算器（有理函数）](https://elysiatools.com/zh/tools/partial-fraction-decomposer): 对有理函数 F(x) = N(x)/D(x) 做部分分式分解（分母次数 ≤ 6，分子次数 ≤ 8，假分式自动先做多项式长除）：Durand-Kerner 求分母根并按重数/共轭对分组，解多项式系数线性方程组得到 A/(x−r)^j 与 (Bx+C)/((x−α)²+β²) 形式的分解，并在代数探针点做数值残差验证。经典例：(3x+5)/(x²+3x+2) = 2/(x+1) + 1/(x+2)；(x³+2x)/(x²+1) = x + x/(x²+1)；1/(x(x+1)²) = 1/x − 1/(x+1) − 1/(x+1)²。
- [PERT 网络分析器（期望工期/方差/完工概率）](https://elysiatools.com/zh/tools/pert-network-analyzer): 对 2–20 个活动做 PERT 三点估计分析（每行：名称、乐观 a、最可能 m、悲观 b、紧前活动）：te = (a+4m+b)/6，σ² = ((b−a)/6)²；在 te 上运行 CPM 得关键路径、期望项目工期 TE 与项目方差（关键路径上 σ² 之和）；给出目标工期 T 时按正态近似计算 Z = (T−TE)/σ 与完工概率 Φ(Z)。a≤m≤b 违规、循环依赖按业务拒绝；σ≈0 的确定性网络按确定性处理。经典例：A(2,4,6)、B(3,5,7)、C(2,3,10)、D(4,6,8, B C) → TE = 15，σ² = 1.3333，T = 16 时概率 ≈ 80.7%。
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