# 一阶微分方程求解器（分离变量法） 用分离变量法求解 dy/dx = g(x)·h(y)：分离变量、两侧逐项积分得 H(y) = G(x) + C，能反解时给出显式解 y = f(x)。支持单项 h(y)（y、y^n、e^(ky)、ky+m）以及可用部分分式分解的二次多项式（如逻辑斯蒂方程的 y(1−y)）；给定初始条件 y(x₀)=y₀ 时算出常数 C，并检测平衡解。示例：dy/dx = 2x·y → y = e^(x²+C)。 > 标准页面: https://elysiatools.com/zh/tools/first-order-ode-solver - **分类:** Math & Numbers - **关键词:** 一阶微分方程, 可分离变量, 分离变量法, 常微分方程, 初值问题, 部分分式, 逻辑斯蒂方程, 隐式解, 微积分, 符号积分 ## 概述 一阶微分方程求解器采用分离变量法符号求解形如 dy/dx = g(x)·h(y) 的常微分方程，自动完成变量分离、两侧逐项积分并给出 H(y) = G(x) + C。工具支持单项与二次多项式（如逻辑斯蒂模型）的部分分式展开，在具备初值条件 y(x₀) = y₀ 时可精确计算积分常数 C，并输出显式通解、特解或隐式解析关系式。 ## 输入项 - **g(x)——x 侧因子** (text): x-dependent factor of dy/dx = g(x)·h(y). Terms: constants, x^n, (kx+m)^n, e^(kx), sin(kx+m), cos(kx+m), ln(kx+m), sqrt(kx+m). - **h(y)——y 侧因子** (text): y-dependent factor. Single terms (y, y^n, (ky+m)^n, e^(ky)) or a degree ≤ 2 polynomial with real roots, or c/D(y). - **x₀（初始 x）** (number): Only used together with y₀ to pin down the constant C. - **y₀ = y(x₀)** (number): Initial value. Leave empty for the general solution; provide with x₀ for the particular solution. ## 适用场景 - 需要解析求解形如 dy/dx = g(x)·h(y) 的一阶可分离变量常微分方程时。 - 已知初始值条件 (x₀, y₀)，需要快速确定积分常数 C 并获得微分方程特解时。 - 处理包含二次因式（如逻辑斯蒂方程 y(1−y)）需要进行部分分式分解与符号积分时。 ## 工作原理 - 输入 x 侧表达式 g(x) 与 y 侧表达式 h(y)，系统将方程重写为分离形式 (1/h(y)) dy = g(x) dx。 - 对左侧与右侧分别进行符号积分，必要时对 1/h(y) 进行部分分式拆分，得到代数积分式 H(y) = G(x) + C。 - 尝试反解出显式表达式 y = f(x)；若无法求出初等显式解，则保留隐式方程。 - 若输入了初值条件 (x₀, y₀)，系统代入计算常数 C，并输出满足初值问题的特定解与平衡解信息。 ## 使用案例 - 大学微积分与常微分方程课程作业的步骤推导与结果验算。 - 生物种群增长模型（逻辑斯蒂方程）与化学反应动力学速率方程的解析求解。 - 物理学中指数衰变、牛顿冷却定律及变力作用下的一阶运动学方程分析。 ## 常见问题 ### 什么是可分离变量微分方程？ 指能够改写为 dy/dx = g(x)·h(y) 形式的一阶微分方程，可通过将 x 和 y 分置于等式两侧分别积分来求解。 ### h(y) 支持哪些常见函数类型？ 支持单项式（如 y、y^n、(ky+m)^n）、指数函数 e^(ky) 以及具有实根的二次多项式（如 y(1−y)）。 ### 如果无法反解出 y 会如何显示？ 当反解涉及超越混合项时，求解器会保留等式两端的符号积分结果，输出精确的隐式解 H(y) = G(x) + C。 ### 不填写初始条件 (x₀, y₀) 可以求解吗？ 可以，未提供初值时求解器将输出带有任意常数 C 的通解。 ### 求解器能检测到平衡解（奇解）吗？ 可以，系统在分析 h(y) 时会识别使 h(y) = 0 的常数解（平衡解）。 ## 相关工具 - [Newton-Raphson 迭代求根计算器](https://elysiatools.com/zh/tools/newton-raphson-root-finder): 用 Newton-Raphson 迭代 x_{k+1} = x_k − f(x_k)/f'(x_k) 求 f(x) = 0 的根：导数可给定解析表达式（留空则用中心差分数值导数），输出逐步迭代表（x_k 与 f(x_k)）、收敛判据（|f| < 容差或 |Δx| < 容差·max(1,|x|)）、迭代次数与最终 |f(root)|。经典例：x²−2 从 x₀=1 出发 4 步收敛到 √2 ≈ 1.4142135624；cos(x)−x 收敛到 Dottie 数 0.7390851332。导数为零、步长发散或超出迭代上限会明确报告。 - [Simpson 辛普森法数值积分器（∫f(x)dx）](https://elysiatools.com/zh/tools/numerical-integration-simpson): 用复合 Simpson 1/3 法计算 ∫ₐᵇ f(x)dx（n 为偶数）：S = h/3·(f(a) + 4Σ奇节点 + 2Σ偶内节点 + f(b))，误差 O(h⁴)，对三次及以下多项式精确。逐节点数值表 + 积分估计 + 可选精确值/误差对比。示例：∫₀¹x²dx 取 n=4 得 0.333333（精确！）；∫₀¹e^(−x²)dx（无初等原函数）取 n=10 得 0.746825。 - [梯形法数值积分器（∫f(x)dx）](https://elysiatools.com/zh/tools/numerical-integration-trapezoid): 用复合梯形法计算 ∫ₐᵇ f(x)dx：T = h/2·(f(a) + 2Σf(xᵢ) + f(b))，逐节点给出数值表、积分估计与可选的精确值/绝对误差对比，误差为 O(h²)（对线性函数精确）。示例：∫₀¹x²dx 取 n=4 得 0.34375，与精确值 1/3 相差 0.010417。 - [四阶 Runge-Kutta（RK4）数值求解器](https://elysiatools.com/zh/tools/runge-kutta-rk4-solver): 用经典四阶 Runge-Kutta（RK4）法求解初值问题 dy/dx = f(x,y)、y(x₀)=y₀：每步计算 k1–k4 四个斜率并加权更新 y_{n+1} = y_n + h/6·(k1+2k2+2k3+k4)，全局误差 O(h⁴)——步长减半误差约缩小 16 倍。输出逐步数值表、前几步的 k1–k4 明细与最终估计；可选填精确解 y(x) 显示误差列。示例：dy/dx = y、y(0)=1、h=0.1 时 y(1) ≈ 2.718282，与 e 几乎一致。 - [级数收敛性判别器（比值/根值/积分/比较）](https://elysiatools.com/zh/tools/series-convergence-tester): 判别数项级数 Σ aₙ 的收敛性（aₙ 为 n 的表达式）：按序运行项判别法（aₙ → 0?）、比值判别法 L = |aₙ₊₁/aₙ|、根值判别法 ρ = |aₙ|^(1/n)、p-级数比较估计 p = −ln|a(N)|/ln N，以及积分判别法（Simpson 数值积分 + 逐十进位增长比较）；交错级数自动识别并用 Leibniz 判别法分类条件收敛，收敛时还给出和的估计（部分和 + 几何/p 律尾部）。经典例：Σ1/n² 收敛（p≈2，和≈1.6449）；Σ1/n 发散（调和）；Σ0.5ⁿ 收敛；Σcos(πn)/n 条件收敛（和≈−ln2）。 - [短链 + UTM + 二维码一体构建器](https://elysiatools.com/zh/tools/short-url-utm-builder-qr-bundle): 一次输入替代 bit.ly + Google Campaign Builder + 二维码生成器三件套：输入落地页与 UTM 参数（GA4 必填三件套强制校验、可选小写规范化），生成完整追踪 URL；在自有短链域名上生成确定性 base62 slug（FNV-1a 哈希，同样输入永远同样 slug，无需联网注册），输出短链与完整链两张二维码 PNG，并附带 nginx / vercel.json / Netlify 重定向配置与营销追踪表 CSV 行。 - [偏度分析器](https://elysiatools.com/zh/tools/skewness-analyzer): 分析数据偏度来衡量概率分布的不对称性并识别数据模式 - [平方根计算器](https://elysiatools.com/zh/tools/square-root-calculator): 计算平方根，判断一个数是否为完全平方数，并验证平方后的结果 ## 示例 - [Web Python 图像处理示例](https://elysiatools.com/zh/samples/web-image-processing-python): Web Python 图像处理示例，使用 PIL/Pillow 包括读取、保存、缩放和格式转换 - [环境变量(.env)示例](https://elysiatools.com/zh/samples/env-samples): 不同应用程序类型和环境的环境变量配置示例 - [Android Java 图像处理示例](https://elysiatools.com/zh/samples/android-image-processing-java): Android Java 图像处理示例，包括图像读取保存、缩放和格式转换 - [Android Kotlin 图像处理示例](https://elysiatools.com/zh/samples/android-image-processing-kotlin): Android Kotlin 图像处理示例，包括图像读取保存、缩放和格式转换 ## 相关内容 - [音频编码与格式转换工具](https://elysiatools.com/zh/hubs/audio-convert): 在一个专题里比较音频格式转换、码率调整、采样率转换、编码切换和导出工具，适合交付与归档工作流。 - [图片格式转换与动画导出工具](https://elysiatools.com/zh/hubs/image-convert): 在一个专题里比较 JPG、PNG、GIF、AVIF、WebP、TIFF、ICO、base64 以及动画导出相关的图片格式转换工具。 - [JSON 交换与格式翻译工具](https://elysiatools.com/zh/hubs/json-convert): 在一个专题里比较 JSON 与 CSV、YAML、TOML、GraphQL、XML、Markdown、Excel、BSON、EDN 等结构化格式之间的转换工具。 - [面向网页与印刷的色彩空间转换工具](https://elysiatools.com/zh/hubs/design-convert): 围绕网页到印刷的色彩空间转换整理的一组工具。