# 卷积积分计算器（数值）

数值计算两个信号的卷积 (f*g)(t) = ∫ f(τ)g(t−τ)dτ：支持因果模式（两信号在 t<0 时取 0，积分区间 [max(τmin,0), min(τmax,t)]，适配拉普拉斯域乘积）与直接窗口模式（在整个 [τmin, τmax] 上积分，适配高斯等双边信号），采用复合 Simpson 公式（默认 2000 区间）。经典例：e^(−t)*e^(−2t) = e^(−t)−e^(−2t)，t=1 时为 0.2325；两个高斯卷积仍为高斯：√(π/2)·e^(−t²/2)。

> 标准页面: https://elysiatools.com/zh/tools/convolution-integral-calculator

- **分类:** Math & Numbers

- **关键词:** 卷积, 卷积积分, 信号处理, 线性时不变系统, 冲激响应, 辛普森法则, 数值积分, 拉普拉斯乘积, 高斯卷积, 微积分

## 概述

卷积积分计算器是一款基于复合辛普森数值积分法的专业工具，用于快速计算连续时间信号的卷积积分 (f*g)(t) = ∫ f(τ)g(t−τ)dτ。工具支持因果信号模式与双边直接窗口模式，能够对用户指定的多个时间点 t 输出高精度的数值结果，便于信号分析与算法验证。

## 输入项

- **f(τ) 表达式（变量 x）** (text): First signal, written in the variable x. Supports + - * / ^, parentheses, and functions like exp, sin, cos, sqrt, ln.
- **g(τ) 表达式（变量 x）** (text): Second signal, written in the variable x (it is evaluated at t − τ inside the integral).
- **模式** (select)
- **窗口起点 τmin** (number): Lower integration bound.
- **窗口终点 τmax** (number): Upper integration bound.
- **输出 t 值（逗号分隔）** (text): 1–8 evaluation points t at which (f*g)(t) is reported.
- **Simpson 区间数** (number): Number of Simpson subintervals per integral (even, 100–20000).
- **小数位数** (number)

## 适用场景

- 分析线性时不变（LTI）系统在特定连续输入信号下的时域冲激响应与零状态响应。
- 验证信号与系统课程中卷积定理、拉普拉斯域乘积的手算解析解与数值计算一致性。
- 求解高斯脉冲平滑、指数衰减等复杂双边或单边信号在不同时刻的连续卷积数值。

## 工作原理

- 输入信号函数表达式 f(x) 与 g(x)，并填写待求解的一个或多个时间评估点 t（逗号分隔，最多 8 个）。
- 选择计算模式：因果信号模式（积分区间自动约束在 \[max(τmin, 0), min(τmax, t)\]）或直接窗口模式（在整个 \[τmin, τmax\] 窗口积分）。
- 设定 Simpson 子区间数（100–20000）与保留小数位数，工具对被积函数 f(τ)g(t−τ) 执行数值求积并生成各评估点结果。

## 使用案例

- 信号与系统教学：验证典型因果指数信号卷积 (如 e^(-t) 与 e^(-2t)) 在各时间点的理论数值。
- 雷达与通信工程：计算高斯脉冲通过高斯滤波器后的波形包络展宽及指定时延处的响应强度。
- 控制系统建模：输入任意已知连续激励信号与系统冲激响应函数，直接获取指定时刻的数值响应。

## 常见问题

### 函数表达式中应该使用什么变量名称？

输入 f(τ) 与 g(τ) 时请统一使用变量字母 x，计算器会在积分过程中自动代入 τ 与 t−τ 进行求值。

### 因果模式与直接窗口模式有何区别？

因果模式适用于 t < 0 时为 0 的单边信号，积分上下界限定在有效重叠区间内；直接窗口模式则对设定的整个 τ 范围积分，适用于高斯等双边信号。

### 支持哪些数学运算符与内置函数？

支持基本算术运算 (+, -, *, /, ^)、圆括号以及 exp、sin、cos、sqrt、ln 等常用数学函数。

### 一次最多可以计算多少个输出时间点？

在输出 t 值输入框中，支持以英文逗号分隔填入 1 到 8 个目标评估时间点。

### 如何提高数值积分的计算精度？

可以增加 Simpson 区间数（例如从默认的 2000 提升至 10000 或更高），以减小数值截断误差。

## 相关工具

- [Euler 法数值求解器（一阶 ODE 前向欧拉）](https://elysiatools.com/zh/tools/euler-method-solver): 用显式（前向）Euler 法求解初值问题 dy/dx = f(x,y)、y(x₀)=y₀：迭代 y_{n+1} = y_n + h·f(x_n, y_n)，逐步给出数值表与最终估计 y(目标)。可选填精确解 y(x) 以显示每步绝对误差，直观呈现一阶方法的 O(h) 全局误差。示例：dy/dx = y、y(0)=1、h=0.1 时 y(1) ≈ 1.1¹⁰ = 2.593742，与 e = 2.718282 相比误差 0.124539。
- [数值微分计算器（前向/后向/中心差分）](https://elysiatools.com/zh/tools/numerical-differentiation): 在指定点用三种有限差分近似 f′(x₀)：前向 (f(x₀+h)−f(x₀))/h、后向 (f(x₀−h) 差分) 与中心 (f(x₀+h)−f(x₀−h))/(2h)，另给中心二阶差分 f″。可选填精确导数以显示各方法绝对误差，直观对比 O(h) 与 O(h²) 截断误差。示例：f=x²、x₀=1、h=0.1 时前向 2.1、后向 1.9、中心恰好 2.0。
- [四分位距计算器](https://elysiatools.com/zh/tools/interquartile-range-calculator): 计算 Q1、Q3、IQR 和可选的 1.5 x IQR 异常值围栏
- [四分位数计算器](https://elysiatools.com/zh/tools/quartile-calculator): 计算 Q1、中位数、Q3、四分位距和可选异常值围栏
- [一阶微分方程求解器（分离变量法）](https://elysiatools.com/zh/tools/first-order-ode-solver): 用分离变量法求解 dy/dx = g(x)·h(y)：分离变量、两侧逐项积分得 H(y) = G(x) + C，能反解时给出显式解 y = f(x)。支持单项 h(y)（y、y^n、e^(ky)、ky+m）以及可用部分分式分解的二次多项式（如逻辑斯蒂方程的 y(1−y)）；给定初始条件 y(x₀)=y₀ 时算出常数 C，并检测平衡解。示例：dy/dx = 2x·y → y = e^(x²+C)。
- [蒙特卡洛模拟构建器](https://elysiatools.com/zh/tools/monte-carlo-simulation-builder): 定义输入分布（正态/均匀/对数正态/三角），写出公式，运行上万次模拟，得到输出分布直方图与置信区间。
- [Newton-Raphson 迭代求根计算器](https://elysiatools.com/zh/tools/newton-raphson-root-finder): 用 Newton-Raphson 迭代 x_{k+1} = x_k − f(x_k)/f'(x_k) 求 f(x) = 0 的根：导数可给定解析表达式（留空则用中心差分数值导数），输出逐步迭代表（x_k 与 f(x_k)）、收敛判据（|f| < 容差或 |Δx| < 容差·max(1,|x|)）、迭代次数与最终 |f(root)|。经典例：x²−2 从 x₀=1 出发 4 步收敛到 √2 ≈ 1.4142135624；cos(x)−x 收敛到 Dottie 数 0.7390851332。导数为零、步长发散或超出迭代上限会明确报告。
- [Simpson 辛普森法数值积分器（∫f(x)dx）](https://elysiatools.com/zh/tools/numerical-integration-simpson): 用复合 Simpson 1/3 法计算 ∫ₐᵇ f(x)dx（n 为偶数）：S = h/3·(f(a) + 4Σ奇节点 + 2Σ偶内节点 + f(b))，误差 O(h⁴)，对三次及以下多项式精确。逐节点数值表 + 积分估计 + 可选精确值/误差对比。示例：∫₀¹x²dx 取 n=4 得 0.333333（精确！）；∫₀¹e^(−x²)dx（无初等原函数）取 n=10 得 0.746825。

## 示例

- [Android Java 图像处理示例](https://elysiatools.com/zh/samples/android-image-processing-java): Android Java 图像处理示例，包括图像读取保存、缩放和格式转换
- [Android Kotlin 图像处理示例](https://elysiatools.com/zh/samples/android-image-processing-kotlin): Android Kotlin 图像处理示例，包括图像读取保存、缩放和格式转换
- [Web Python 图像处理示例](https://elysiatools.com/zh/samples/web-image-processing-python): Web Python 图像处理示例，使用 PIL/Pillow 包括读取、保存、缩放和格式转换
- [Web Rust 图像处理示例](https://elysiatools.com/zh/samples/web-image-processing-rust): Web Rust 图像处理示例，包括图像读取保存、缩放和格式转换