# 排列 / 组合 / 子集生成器（支持重复元素）

生成多重集的排列、组合与子集，自动去重并按字典序输出：排列用 next_permutation，精确计数 n!/Π(mᵢ!)；组合生成不同的 k-子多重集，计数为 Π(1+x+…+x^mᵢ) 中 x^k 的系数（元素互异时即 C(n,k)）；子集枚举所有子多重集，计数 Π(mᵢ+1)（互异时 2ⁿ），含空集。最多 12 个元素，展示上限 200 条但计数始终精确；组合模式要求 1 ≤ k ≤ n。经典例：[A, A, B] 的排列 → 3!/2! = 3 个（AAB、ABA、BAA）；[A, A, B] 的子集 → (2+1)(1+1) = 6 个。

> 标准页面: https://elysiatools.com/zh/tools/combinatorial-generation

- **分类:** Math & Numbers

- **关键词:** 排列, 组合, 子集, 幂集, 多重集, 重复元素, 组合数学, 下一个排列, 阶乘, 离散数学

## 概述

排列 / 组合 / 子集生成器是一款专为多重集计算设计的数学工具，支持 1 至 12 个元素的输入并自动处理重复项。工具利用字典序与 next_permutation 算法生成去重后的全排列、指定大小 k 的组合以及完整子集（幂集），在精确计算理论总数（如多项式系数与阶乘去重公式）的同时，清晰列出最多 200 条具体生成结果。

## 输入项

- **生成模式** (select)
- **元素（可重复）** (text): 1–12 items separated by commas or spaces; duplicates like 'A, A, B' are supported and only distinct results are generated.
- **大小 k（仅组合模式）** (number): How many items each combination holds; ignored in the permutations and subsets modes.
- **小数位数** (number)

## 适用场景

- 需要对包含相同字符或数字的列表（如 A, A, B）生成不重复的全排列时
- 需要从多重集中挑选 k 个元素并列举所有唯一组合（k-子多重集）时
- 需要穷举集合的所有可能子集（包含空集）并验证离散数学计数公式时

## 工作原理

- 在输入框中填入以逗号或空格分隔的元素（支持 1 到 12 个元素，允许重复）。
- 选择生成模式（排列、选 k 个的组合或子集）；若选择组合模式，需设置大小 k（1 ≤ k ≤ n）。
- 系统自动解析多重集频数，计算精确的理论总数，并按字典序输出前 200 条去重后的序列。

## 使用案例

- 离散数学与概率论教学中验证多重集排列组合公式与生成母函数系数
- 算法与编程题（如 LeetCode 全排列 II、子集 II）的测试用例构造与结果核对
- 游戏规则设计或抽奖组合枚举中对有限重复道具搭配方案的完整穷举

## 常见问题

### 输入重复元素（如 A, A, B）时，输出会自动去重吗？

会。工具内置多重集处理机制，全排列、组合与子集均会自动去重，仅输出唯一的字典序结果。

### 生成结果的数量有上限吗？

文本列表最多展示前 200 条生成结果，但理论计数统计始终保持完全精确。

### 最多支持输入多少个元素？

支持输入 1 到 12 个元素，元素之间可用逗号或空格分隔。

### 组合模式中的参数 k 有什么限制？

参数 k 必须为整数，且取值范围必须满足 1 ≤ k ≤ n（n 为输入的总元素个数）。

### 子集模式是否包含空集？

包含。子集模式会列出包含空集 (empty) 在内的所有子多重集，计数公式为每个元素出现次数加一的连乘积。

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## 示例

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- [Web Python 图像处理示例](https://elysiatools.com/zh/samples/web-image-processing-python): Web Python 图像处理示例，使用 PIL/Pillow 包括读取、保存、缩放和格式转换
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