# 中国剩余定理求解器（同余方程组）

求解同余方程组 x ≡ rᵢ (mod mᵢ)（2–20 条方程），采用逐对合并的广义中国剩余定理：模数两两互素时合并模数为乘积，非互素但相容时合并模数为最小公倍数，不相容（公因数不整除余数差）则明确报告无解。每条方程都会对最终解回代验证。经典例：x ≡ 2 (mod 3)、x ≡ 3 (mod 5)、x ≡ 2 (mod 7) 的解为 x = 23 (mod 105)。

> 标准页面: https://elysiatools.com/zh/tools/chinese-remainder-theorem

- **分类:** Math & Numbers

- **关键词:** 中国剩余定理, 同余方程组, 物不知数, 同余, 最小公倍数, 数论, 孙子算经

## 概述

中国剩余定理求解器用于快速计算 2 至 20 条同余方程组成的线性同余方程组。工具采用逐对合并的广义中国剩余定理算法，支持两两互素及非互素的相容模数合并，自动判定无解情况，并输出合并步骤与回代验证结果。

## 输入项

- **余数 r（每行方程一个）** (text): Comma- or space-separated remainders, one per congruence; negative values are reduced mod m.
- **模数 m（每行方程一个）** (text): Comma- or space-separated moduli (each m ≥ 2), matching the remainders count.

## 适用场景

- 需要求解数论或离散数学中的一元线性同余方程组（如孙子算经“物不知数”问题）时。
- 模数之间存在公因数（非两两互素），需要利用最小公倍数求广义模数解并验证方程相容性时。
- 编写密码学算法或周期排程逻辑前，需要验证同余方程的解及其区间唯一性时。

## 工作原理

- 输入以逗号或空格分隔的余数列表（r）和对应的模数列表（m，每个模数 m ≥ 2）。
- 系统通过扩展欧几里得算法进行逐对同余式合并；模数互素时模数为乘积，模数不互素时计算最小公倍数并检验公因数是否整除余数差。
- 若方程组存在矛盾则即时提示无解，若相容则输出在 \[0, M) 区间内的唯一特解、通解周期 M 及逐项回代验证信息。

## 使用案例

- 数论教学与作业验算：快速求解经典孙子定理题目并查看逐步合并推导。
- 周期性事件重合推算：根据不同周期与起始偏移量计算多个循环事件首次同时触发的时间节点。
- 密码学与竞赛编程：在 RSA 算法优化、大数同余分解等场景下快速验证模算术求解逻辑。

## 常见问题

### 如果模数之间不是两两互素，工具还能计算吗？

可以。工具支持广义中国剩余定理，只要方程组相容（公因数能整除余数差），合并模数将自动取最小公倍数（LCM）并给出正确解。

### 输入负数余数会怎样处理？

输入的负数余数会在计算前自动按对应的模数取模（r mod m），将其转化为非负标准余数。

### 什么是方程组无解的情况？

当两个模数存在最大公因数 d = gcd(m1, m2)，但两者的余数差 (r1 - r2) 不能被 d 整除时，同余方程组相互矛盾，判定为无解。

### 一次最多可以输入多少条同余方程？

求解器支持输入 2 到 20 条同余方程进行同时求解与验证。

### 输出结果中的回代验证是什么？

工具会将最终求出的解 x 代入输入的每一条同余方程中计算 x mod mᵢ，直观核对计算结果是否严格等于给定的余数 rᵢ。

## 相关工具

- [Carmichael 函数 λ(n) 计算器](https://elysiatools.com/zh/tools/carmichael-function): 计算 Carmichael 函数 λ(n)——乘法群 (Z/nZ)* 的指数，即使所有与 n 互素的 a 满足 a^k ≡ 1 (mod n) 的最小 k。由质因数分解按 λ(2)=1、λ(4)=2、λ(2^k)=2^(k−2)（k ≥ 3）、奇素数幂 λ(p^k)=φ(p^k) 再取 lcm 得到，同时给出 φ(n) 对比、是否存在原根，并用 Korselt 判据识别 Carmichael 数。经典例：λ(561) = 80（561 是最小的 Carmichael 数），而 λ(8) = 2 < φ(8) = 4。
- [排列 / 组合 / 子集生成器（支持重复元素）](https://elysiatools.com/zh/tools/combinatorial-generation): 生成多重集的排列、组合与子集，自动去重并按字典序输出：排列用 next_permutation，精确计数 n!/Π(mᵢ!)；组合生成不同的 k-子多重集，计数为 Π(1+x+…+x^mᵢ) 中 x^k 的系数（元素互异时即 C(n,k)）；子集枚举所有子多重集，计数 Π(mᵢ+1)（互异时 2ⁿ），含空集。最多 12 个元素，展示上限 200 条但计数始终精确；组合模式要求 1 ≤ k ≤ n。经典例：\[A, A, B\] 的排列 → 3!/2! = 3 个（AAB、ABA、BAA）；\[A, A, B\] 的子集 → (2+1)(1+1) = 6 个。
- [欧拉函数 φ(n) 计算器](https://elysiatools.com/zh/tools/euler-totient-function): 计算欧拉函数 φ(n)——\[1, n\] 中与 n 互素的正整数个数。先做试除法质因数分解，再按 φ(n) = n · Π(1 − 1/p) 精确求值（n ≤ 10¹²），可附带列出前 60 个互素数，并给出欧拉定理 a^φ(n) ≡ 1 (mod n)。经典例：φ(36) = 12（36 = 2² × 3²）；n 为素数时 φ(n) = n − 1，如 φ(97) = 96。
- [分数小数转换器](https://elysiatools.com/zh/tools/fraction-decimal-converter): 在分数和小数之间转换，支持带分数、假分数和各种小数格式
- [零和博弈求解器（鞍点 / 线性规划混合策略）](https://elysiatools.com/zh/tools/game-theory-zero-sum): 求解 2–6 × 2–6 双人零和博弈（支付矩阵归行方——最大化者，列方支付）：先做鞍点检验（行最小值的最大值 = 列最大值的最小值时存在纯策略均衡，列出所有鞍点格）；否则移位矩阵使元素 ≥ 1 后用单阶段单纯形（松弛基、Bland 规则）求解 max Σz s.t. Bz ≤ 1，其原始解给出列方混合策略 q，对偶影子价格恰为行方 LP 解 y，值移回后给出 x、q、v，并数值验证双方安全策略（xᵀA ≥ v、Aq ≤ v）与极小极大相等。经典例：猜硬币 \[\[1,-1\],\[-1,1\]\] → 值 0，双方各以 0.5/0.5 混合。
- [拉普拉斯逆变换计算器（部分分式法）](https://elysiatools.com/zh/tools/inverse-laplace-calculator): 对有理函数 F(s) = N(s)/D(s)（真分式，分母次数 ≤ 6）求拉普拉斯逆变换：先对分母求根并按重数/共轭对分组，再解多项式系数线性方程组得到部分分式分解，最后逐项查表反变换（A/(s−r)→Ae^(rt)、A/(s−r)^j→At^(j−1)e^(rt)/(j−1)!、(Bs+C)/((s−α)²+β²)→e^(αt)\[Bcos(βt)+…sin(βt)\]）。经典例：1/(s²+3s+2) → e^(−t)−e^(−2t)；(3s+5)/(s²+4) → 3cos(2t)+2.5sin(2t)。
- [拉普拉斯变换计算器（常用函数对查表）](https://elysiatools.com/zh/tools/laplace-transform-calculator): 查表求常用函数的拉普拉斯变换 F(s) = ∫₀^∞ e^(−st)f(t)dt：覆盖 14 组标准变换对（1、t、tⁿ、e^(at)、tⁿe^(at)、sin/cos(kt) 及其指数移位、sinh/cosh、t·sin/t·cos、δ(t)），带参数代入、收敛域（如 s > a）、推导要点，并可在指定 s 处数值求值（自动校验收敛）。示例：L{e^t} = 1/(s−1)，s>1，F(2) = 1。
- [模 n 乘法阶计算器（乘法群元素阶）](https://elysiatools.com/zh/tools/order-of-element-mod-n): 求元素 a 模 n 的乘法阶 ord\_n(a)——使 a^k ≡ 1 (mod n) 的最小 k ≥ 1（要求 gcd(a, n) = 1）。算法从 φ(n) 出发逐个剥去素因子并测试 a^(ord/p)，输出 a 的幂表、最小性证明（对每个整除 k 的素数 p 验证 a^(k/p) ≢ 1）、生成的循环子群 ，并标注 a 是否为原根（ord = φ(n)）或达到最大阶（ord = λ(n)）。经典例：ord\_7(3) = 6 = φ(7)，3 是 mod 7 的原根；ord\_15(2) = 4 < φ(15) = 8。

## 示例

- [NATS 消息系统示例](https://elysiatools.com/zh/samples/nats-samples): NATS 消息系统示例，包括发布订阅、请求回复、队列组和 JetStream，适用于现代云原生应用
- [Web Python 图像处理示例](https://elysiatools.com/zh/samples/web-image-processing-python): Web Python 图像处理示例，使用 PIL/Pillow 包括读取、保存、缩放和格式转换
- [中英混合文本示例](https://elysiatools.com/zh/samples/text-chinese-english-mixed-samples): 用于测试自动添加空格工具的中英文混合内容示例文本文件
- [含中文文本示例](https://elysiatools.com/zh/samples/text-with-chinese-samples): 包含中文字符的混合语言文本，用于测试中文提取