# Калькулятор Z-преобразования (дискретные системы)

Табличное одностороннее Z-преобразование X(z) = Σₙ₌₀^∞ x[n]·z^(−n): 11 стандартных пар (δ[n], u[n], aⁿ, n, n², n·aⁿ, sin/cos(ω₀n), aⁿ·sin/aⁿ·cos, (−1)ⁿ), с подстановкой параметров, областью сходимости |z| > R, ходом вывода и необязательным численным вычислением в точке z (со проверкой сходимости). Пример: Z{0.5ⁿ} = z/(z−0.5), |z| > 0.5, X(2) = 4/3.

> Каноническая страница: https://elysiatools.com/ru/tools/z-transform-calculator

- **Категория:** Math & Numbers

- **Ключевые слова:** z-преобразование, таблица z-преобразования, пары преобразований, дискретные системы, разностные уравнения, область сходимости, геометрический ряд, единичный скачок, единичный импульс, цифровая обработка

## Обзор

Калькулятор Z-преобразования позволяет находить аналитическое выражение X(z) для 11 стандартных дискретных сигналов с подстановкой параметров, определением области сходимости и опциональным точечным вычислением.

## Входные данные

- **Форма x\[n\]** (select)
- **Параметр a (основание)** (number): Geometric base in a^n forms (pole at z = a).
- **Параметр ω₀ (частота, рад/выборку)** (number): Angular frequency in sin/cos forms (must be nonzero).
- **Вычислить X(z) при z (необязательно)** (number): Numeric evaluation point; must satisfy the region of convergence.
- **Знаков после запятой** (number)

## Когда использовать

- При анализе передаточных функций и устойчивости дискретных систем управления или ЦОС.
- При решении линейных разностных уравнений операторным методом через табличные пары.
- Для быстрой проверки области сходимости |z| > R и вычисления значений X(z) в конкретной комплексной или вещественной точке z.

## Как это работает

- Выберите один из 11 базовых дискретных сигналов x\[n\] (экспоненциальный, гармонический, ступенчатый или полиномиальный).
- Задайте параметры сигнала, такие как основание геометрической прогрессии a или круговая частота ω₀.
- При необходимости укажите точку z для численного расчета и требуемую точность округления.
- Получите аналитическую формулу Z-преобразования, условие области сходимости и итоговое числовое значение.

## Сценарии использования

- Определение Z-образов тестовых сигналов при проектировании цифровых фильтров (БИХ/КИХ).
- Проверка правильности ручных аналитических выкладок в курсах теории сигналов и дискретной математики.
- Расчет реакции дискретной системы на затухающие гармонические и ступенчатые воздействия.

## Частые вопросы

### Какое определение Z-преобразования используется в калькуляторе?

Используется прямое одностороннее Z-преобразование вида X(z) = Σ x[n] · z^(−n) при суммировании от n = 0 до бесконечности.

### Что означает область сходимости (ROC)?

Это множество значений z (обычно внешность круга |z| > R), при которых бесконечный степенной ряд абсолютно сходится к рациональной функции.

### Можно ли вычислить значение X(z) внутри области расходимости?

Нет, точка z должна строго удовлетворять условию области сходимости выбранного сигнала.

### Какие сигналы поддерживает калькулятор?

Поддерживаются 11 типовых пар: δ[n], u[n], aⁿ, n, n², n·aⁿ, sin(ω₀n), cos(ω₀n), aⁿ·sin(ω₀n), aⁿ·cos(ω₀n) и (−1)ⁿ.

### В каких единицах задается частота ω₀?

Параметр ω₀ задается в радианах на выборку (rad/sample) и должен быть отличным от нуля.

## Связанные инструменты

- [Калькулятор обратного преобразования Лапласа (простые дроби)](https://elysiatools.com/ru/tools/inverse-laplace-calculator): Вычисляет обратное преобразование Лапласа для F(s) = N(s)/D(s) (правильная дробь, степень знаменателя ≤ 6): находит корни знаменателя, группирует их по кратности и сопряжённым парам, решает линейную систему по коэффициентам многочленов для разложения на простые дроби и обращает каждое слагаемое по таблице (A/(s−r)→Ae^(rt), A/(s−r)^j→At^(j−1)e^(rt)/(j−1)!, (Bs+C)/((s−α)²+β²)→e^(αt)\[Bcos(βt)+…sin(βt)\]). Классика: 1/(s²+3s+2) → e^(−t)−e^(−2t); (3s+5)/(s²+4) → 3cos(2t)+2,5sin(2t).
- [Калькулятор преобразования Лапласа (таблица пар)](https://elysiatools.com/ru/tools/laplace-transform-calculator): Табличное преобразование Лапласа F(s) = ∫₀^∞ e^(−st)f(t)dt: 14 стандартных пар (1, t, tⁿ, e^(at), tⁿe^(at), sin/cos(kt) с экспоненциальным сдвигом, sinh/cosh, t·sin/t·cos, δ(t)), с подстановкой параметров, областью сходимости (например s > a), ходом вывода и необязательным численным вычислением в точке s (со проверкой сходимости). Пример: L{e^t} = 1/(s−1), s>1, F(2) = 1.
- [Калькулятор разложения на простые дроби (рациональные функции)](https://elysiatools.com/ru/tools/partial-fraction-decomposer): Разлагает рациональную функцию F(x) = N(x)/D(x) на простые дроби (степень знаменателя ≤ 6, числителя ≤ 8; неправильные дроби сначала делятся уголком): корни знаменателя находятся методом Дюрана–Кернера и группируются по кратности и сопряжённым парам, точная линейная система по коэффициентам даёт слагаемые A/(x−r)^j и (Bx+C)/((x−α)²+β²), затем выполняется численная проверка невязки в алгебраических пробных точках. Классика: (3x+5)/(x²+3x+2) = 2/(x+1) + 1/(x+2); (x³+2x)/(x²+1) = x + x/(x²+1); 1/(x(x+1)²) = 1/x − 1/(x+1) − 1/(x+1)².
- [Решатель линейного ОДУ 2-го порядка (характеристическое уравнение)](https://elysiatools.com/ru/tools/second-order-ode-solver): Решает a·y'' + b·y' + c·y = f(x): находит корни характеристического уравнения ar² + br + c = 0, классифицирует однородное решение по дискриминанту (различные вещественные / кратный / комплексно-сопряжённые корни) и строит частное решение методом неопределённых коэффициентов с резонансом (если k — корень, пробная функция умножается на x^m). Поддерживаются постоянные, многочлены, A·e^(kx) и A·sin(kx)+B·cos(kx); при y(x₀) и y'(x₀) константы C1, C2 находятся из системы 2×2. Классика: y''−3y'+2y=0, y(0)=1, y'(0)=0 → y = −e^(2x)+2e^x.
- [Калькулятор абсолютного значения](https://elysiatools.com/ru/tools/absolute-value-calculator): Вычисляет абсолютное значение положительных, отрицательных и десятичных чисел и показывает расстояние до нуля
- [Калькулятор воздухообмена ACH (n = Q/V)](https://elysiatools.com/ru/tools/air-changes-per-hour): Вычисляет воздухообмен n=Q/V (1/ч) по расходу наружного воздуха Q и объёму V. Три режима: n (Q,V), расход (n,V) или объём (n,Q). Расход в м³/с/м³/ч/CFM, объём в м³/фт³/л. Даёт время достижения цели очистки (доля остатка, по умолчанию 1%) по модели полного смешения: t=−ln(ε)/n.
- [Калькулятор ресурса L10 подшипника качения](https://elysiatools.com/ru/tools/bearing-life-l10): Расчёт базового ресурса L10 = (C/P)^p подшипника качения. Шариковый p=3, роликовый p=10/3. При заданной скорости — L10h в часах.
- [Калькулятор момента и силы затяжки болта](https://elysiatools.com/ru/tools/bolt-torque-clamp-force): Перевод между моментом затяжки и осевой силой болта. T = K·F·d, K — коэффициент гайки (≈0.20 сухая сталь). Момент по силе или сила по моменту.

## Примеры

- [Примеры Обработки Изображений Web Python](https://elysiatools.com/ru/samples/web-image-processing-python): Примеры обработки изображений Web Python используя PIL/Pillow включая чтение, сохранение, изменение размера и преобразование формата
- [Примеры Обработки Изображений Android Java](https://elysiatools.com/ru/samples/android-image-processing-java): Примеры обработки изображений Android Java включая чтение/сохранение, масштабирование и преобразование формата
- [Примеры Обработки Изображений Android Kotlin](https://elysiatools.com/ru/samples/android-image-processing-kotlin): Примеры обработки изображений Android Kotlin включая чтение/сохранение, масштабирование и преобразование формата
- [Примеры Обработки Изображений Web Rust](https://elysiatools.com/ru/samples/web-image-processing-rust): Примеры обработки изображений Web Rust включая чтение/запись, масштабирование и преобразование форматов

## Связанные материалы

- [Инструменты кодирования и конвертации аудио](https://elysiatools.com/ru/hubs/audio-convert): Сравните инструменты конвертации аудиоформатов, изменения битрейта, частоты дискретизации, смены кодека и экспорта в одном хабе.
- [Инструменты конвертации форматов изображений и анимированного экспорта](https://elysiatools.com/ru/hubs/image-convert): Сравните конвертеры JPG, PNG, GIF, AVIF, WebP, TIFF, ICO, base64 и инструменты экспорта анимированных изображений в одном хабе.
- [Инструменты JSON-обмена и перевода форматов](https://elysiatools.com/ru/hubs/json-convert): Сравните инструменты преобразования JSON для CSV, YAML, TOML, GraphQL, XML, Markdown, Excel, BSON, EDN и других структурированных форматов в одном хабе.
- [Инструменты перевода цветовых пространств для веба и печати](https://elysiatools.com/ru/hubs/design-convert): Подборка инструментов для перевода цветовых пространств между вебом и печатью в одном хабе.