# Калькулятор нормировки волновых функций

Находит нормировочную константу A (такую, что ∫|ψ|²dx = 1) для классических семейств: бесконечная яма ψ = A·sin(nπx/L) даёт A = √(2/L); гауссиана A·exp(−x²/(2σ²)) даёт A = (πσ²)^(−1/4); основное состояние осциллятора A·exp(−mωx²/(2ℏ)) даёт A = (mω/πℏ)^(1/4); односторонняя экспонента A·exp(−αx) даёт A = √(2α). С проверкой единичной вероятности и моментами ⟨x⟩, σ_x.

> Каноническая страница: https://elysiatools.com/ru/tools/wave-function-normalizer

- **Категория:** Science & Education

- **Ключевые слова:** нормировка волновой функции, нормировочная константа, единичная вероятность, гауссов волновой пакет, частица в яме, квантовая механика

## Обзор

Калькулятор нормировки волновых функций позволяет мгновенно рассчитать нормировочную константу A для классических квантовомеханических потенциалов и распределений. Инструмент решает интегральное условие единичной вероятности ∫|ψ|²dx = 1 для бесконечной прямоугольной ямы, гауссова пакета, основного состояния квантового гармонического осциллятора и одностороннего экспоненциального затухания, а также вычисляет квантовые моменты — математическое ожидание координаты ⟨x⟩ и её стандартное отклонение σ_x.

## Входные данные

- **Семейство волновых функций** (select)
- **Длина ямы L (м)** (number): e.g. 1e-9
- **Уровень в яме n** (number): e.g. 1
- **Ширина гауссианы σ (м)** (number): e.g. 1
- **Масса осциллятора (кг)** (number): e.g. 9.109e-31
- **Частота осциллятора ω (рад/с)** (number): e.g. 1e16
- **Константа затухания α (1/м)** (number): e.g. 1e9

## Когда использовать

- При подготовке задач и лабораторных расчетов по квантовой механике для нахождения точных значений нормировочного множителя A.
- Для быстрого расчета пространственных моментов распределения плотности вероятности ⟨x⟩ и σ_x в одномерных квантовых моделях.
- При проверке аналитических выкладок интегралов от квадрата волновой функции для различных физических параметров системы.

## Как это работает

- Выберите семейство волновых функций: бесконечная яма, гауссиана, гармонический осциллятор или экспоненциальное затухание.
- Задайте параметры выбранной модели (ширину ямы L и уровень n, среднеквадратичную ширину σ, массу m и частоту ω осциллятора, либо показатель α).
- Калькулятор аналитически вычисляет нормировочную константу A, гарантирующую выполнение условия ∫|ψ(x)|²dx = 1.
- В итоговом отчете выводятся нормированный вид волновой функции ψ(x), проверочное значение полной вероятности и квантовые моменты ⟨x⟩ и σ_x.

## Сценарии использования

- Моделирование квантовых точек и электронов, локализованных в одномерных наноструктурах заданной длины.
- Анализ неопределенности координаты и пространственной локализации гауссовых волновых пакетов.
- Расчет основного состояния квантового гармонического осциллятора для молекулярных колебаний.

## Частые вопросы

### Зачем необходимо нормировать волновую функцию?

Квадрат модуля |ψ(x)|² выражает плотность вероятности, поэтому интеграл по всей области определения должен быть равен 1 (событие достоверно).

### Какая формула нормировки используется для одномерной прямоугольной ямы?

Для бесконечно глубокой потенциальной ямы длиной L нормировочный коэффициент равен A = √(2/L) для любого квантового уровня n.

### В каких единицах измерения возвращается константа A?

В одномерном пространстве нормировочная константа A выражается в м^(−1/2) для обеспечения безразмерной вероятности.

### Зависит ли нормировка в бесконечной яме от квантового числа n?

Нет, для всех уровней n константа A равна √(2/L), так как интеграл sin²(nπx/L) на отрезке [0, L] всегда равен L/2.

### Какие моменты координаты вычисляет данный инструмент?

Инструмент вычисляет среднее положение частицы ⟨x⟩ и среднеквадратичную неопределенность координаты σ_x.

## Связанные инструменты

- [Калькулятор тензора напряжений Максвелла](https://elysiatools.com/ru/tools/maxwell-stress-tensor): Тензор напряжений Максвелла T_ij = ε₀(E_iE_j − ½E²δ_ij) + (1/μ₀)(B_iB_j − ½B²δ_ij) по полным векторам E и B: матрица 3×3 в Н/м², плотности энергии, проверка следа tr T = −(u_E+u_B) и натяжение T·n̂ на поверхности с выбранной нормалью. В чистом поле линии тянут вдоль себя с натяжением u и давят вбок с таким же давлением u; тензор плоской волны схлопывается в diag(0, 0, −u). Опоры: солнечный свет давит всего 3.3 мкПа; поле пробоя воздуха 3 МВ/м тянет вдоль себя с ≈ 40 Па и сжимает вбок с теми же 40 Па.
- [Частица в одномерной потенциальной яме](https://elysiatools.com/ru/tools/particle-in-a-box): Уровни одномерной бесконечно глубокой ямы E_n = n²h²/(8mL²): частица — электрон/протон/нейтрон/альфа или своя масса, длина ямы в единицах от м до пм. Выводит E_1 (нулевая энергия — частица в яме никогда не может покоиться), запрошенный уровень, проверку волны де Бройля λ_dB = 2L/n, длину волны фотона перехода n+1 → n и, по желанию, лестницу уровней до n = 12. Протон в ядерной яме 10 фм даёт нулевую энергию ~2 МэВ — вот почему ядерная физика живёт в МэВ-диапазоне.
- [Калькулятор вектора Пойнтинга](https://elysiatools.com/ru/tools/poynting-vector): Плотность потока энергии электромагнитного поля S = E × H = (1/μ₀) E × B: единицы E и B выбираемы, вспомогательное поле H = B/μ₀, S = E·B·sinθ/μ₀ в Вт/м², обе плотности энергии и проверка плоской волны u_E = u_B (где S = c·u). Опоры: яркий солнечный свет — это E ≈ 614 В/м при B ≈ 2.05 мкТл и поток ≈ 1 кВт/м²; лампа 100 Вт с метра даёт лишь ≈ 7.96 Вт/м².
- [Калькулятор модели Бора](https://elysiatools.com/ru/tools/bohr-model-calculator): Модель Бора для атома водорода: r_n = n²a₀ (боровский радиус a₀ = 0.052918 нм), E_n = −13.605693/n² эВ, v_n = αc/n и период обращения T = 2πr/v. С необязательным конечным уровнем m вычисляется энергия перехода и длина волны испущенного/поглощённого фотона с указанием серии (Лайман/Бальмер/Пашен/Брэкет/Пфунд/Хамфри) — например, 3→2 — знаменитая красная линия Hα 656.1 нм.
- [Калькулятор комптоновского рассеяния](https://elysiatools.com/ru/tools/compton-scattering-calculator): Вычисляет комптоновский сдвиг Δλ = (h/m_e·c)(1 − cos θ): по длине волны падающего рентгеновского излучения (пм/Å/нм) и углу рассеяния θ (0–180°) выводятся комптоновская длина волны электрона λ_C, сдвиг, длина волны и энергия рассеянного фотона, энергия, переданная электрону отдачи, и угол отдачи cot φ = (1 + E/m_e·c²)·tan(θ/2). Случаи θ = 0° (прохождение без сдвига) и θ = 180° (обратное рассеяние с максимальным сдвигом 2λ_C и электроном вперёд) разобраны отдельно.
- [Калькулятор длины волны де Бройля](https://elysiatools.com/ru/tools/de-broglie-wavelength): Вычисляет длину волны материи λ = h/p: режимы «частица и скорость» (электрон/протон/нейтрон/альфа-частица или своя масса, с опциональной релятивистской поправкой p = γmv), «импульс напрямую» и «ускоряющее напряжение электрона» (по умолчанию релятивистская формула, для сравнения приводятся классическое приближение h/√(2mE) и отклонение). Результат — в метрах и подходящих единицах (нм/пм/фм/Å) с указанием масштаба длины (рентген, межатомные расстояния и т. д.).
- [Калькулятор дифракционной решётки](https://elysiatools.com/ru/tools/diffraction-grating-calculator): Уравнение дифракционной решётки d·sinθ = mλ: введите плотность штрихов (штрихов/мм, автоматически пересчитывается в период d) и длину волны — получите угол дифракции для заданного порядка и список всех наблюдаемых порядков (m·λ ≤ d). Примеры — лабораторный стандарт: 600 штрихов/мм с гелий-неоновым лазером 632.8 нм (m = 1 при 22.31°, m = 2 при 49.41°) — и поверхность CD (шаг дорожек 1.6 мкм), расстилающая радугу между 14° и 26°.
- [Калькулятор интерференции на двух щелях](https://elysiatools.com/ru/tools/double-slit-interference): Интерференция на двух щелях Юнга: яркие полосы возникают там, где разность хода равна целому числу длин волн, и расстояние между полосами на экране Δy = λL/d. Инструмент выводит Δy в мм, угловые положения максимумов и положения первых четырёх ярких полос по обе стороны от центра. Классическая студенческая скамья (550 нм, 0.2 мм, 2 м) даёт полосы 5.5 мм — достаточно крупные для линейки; именно так длину волны впервые измерили в нанометрах.

## Примеры

- [MP3 Аудио Образцы Без Авторских Прав](https://elysiatools.com/ru/samples/mp3-samples): Коллекция аудио образцов без авторских прав для тестирования и разработки, включая звуки природы, медитативную музыку и фоновое аудио
- [WAV Аудио Образцы Без Авторских Прав](https://elysiatools.com/ru/samples/wav-samples): Коллекция аудио WAV без сжатия для тестирования и разработки, включая звуки природы и медитативную музыку
- [Примеры Нормализации Пробелов](https://elysiatools.com/ru/samples/text-Whitespace-samples): Примеры текстовых файлов с различными проблемами пробелов для тестирования инструментов нормализации
- [Сырые PCM Аудио Образцы Без Авторских Прав](https://elysiatools.com/ru/samples/pcm-samples): Сырые PCM s16le образцы с природной атмосферой и расслабляющей музыкой для формы сигнала, прослушивания и конвертации