# Решето Эратосфена (генератор простых чисел)

Генерирует все простые до n (≤ 10⁷) решетом Эратосфена, при необходимости только из диапазона [m, n]. Вывод поясняет механику: базовые простые (p² ≤ n), число операций вычёркивания и реальное количество составных; список ограничен 200 простыми, но счёт всегда точен. Классика: при n = 100 базовые 2, 3, 5, 7 вычёркивают 74 составных, остаётся 25 простых; π(1000) = 168.

> Каноническая страница: https://elysiatools.com/ru/tools/sieve-of-eratosthenes

- **Категория:** Math & Numbers

- **Ключевые слова:** решето эратосфена, простые числа, список простых, генератор простых, подсчёт простых, составные числа, теория чисел

## Обзор

Онлайн-генератор простых чисел на основе решета Эратосфена находит все простые числа до заданного предела n (до 10⁷) или в выбранном диапазоне [m, n]. Сервис рассчитывает точное количество простых чисел π(n), выводит базовые простые делители, число операций вычёркивания и список найденных чисел.

## Входные данные

- **Верхний предел n** (text): Sieve bound, 2 ≤ n ≤ 10⁷ (byte-sieve limit).
- **Нижняя граница m (необязательно)** (text): Only list primes ≥ m; leave empty to enumerate from 2.

## Когда использовать

- Когда требуется быстро сгенерировать список простых чисел до заданного верхнего предела n ≤ 10⁷.
- Когда необходимо найти простые числа в определенном диапазоне \[m, n\] без ручной проверки делимости каждого кандидата.
- При изучении алгоритмов теории чисел для наглядного анализа шагов вычёркивания составных чисел.

## Как это работает

- Укажите верхний предел n (до 10 000 000) и, при необходимости, нижнюю границу m.
- Алгоритм определяет базовые простые числа p, удовлетворяющие условию p² ≤ n, и последовательно вычёркивает кратные им составные числа.
- Инструмент подсчитывает количество вычеркнутых составных элементов и точное значение функции π(n).
- Формируется итоговый отчет со списком простых чисел (до 200 значений), статистикой операций и наибольшим простым числом.

## Сценарии использования

- Подбор простых чисел и множителей для криптографических задач и хэш-таблиц.
- Решение практических и лабораторных заданий по дискретной математике и теории чисел.
- Анализ плотности простых чисел и значения функции распределения π(n) на числовых отрезках.

## Частые вопросы

### Каково максимальное значение n для генерации?

Верхний предел n ограничен значением 10 000 000 (10⁷).

### Почему список выводит максимум 200 простых чисел?

Ограничение списка до 200 чисел ускоряет отображение страницы, при этом счетчик количества простых чисел π(n) всегда рассчитывается точно для всего диапазона.

### Что показывают базовые простые числа в отчете?

Это простые числа p, не превышающие корень из n (p² ≤ n), чьи кратные алгоритм использует для вычёркивания всех составных чисел.

### Как найти простые числа в конкретном интервале?

Заполните поле m для нижней границы и поле n для верхней границы диапазона.

### Учитываются ли 0 и 1 как простые числа?

Нет, числа 0 и 1 не являются простыми, поэтому просеивание всегда начинается с числа 2.

## Связанные инструменты

- [Генератор перестановок / сочетаний / подмножеств (с повторами)](https://elysiatools.com/ru/tools/combinatorial-generation): Генерирует перестановки, сочетания и подмножества мультимножества с автодедупликацией в лексикографическом порядке: перестановки — методом next_permutation с точным счётом n!/Π(mᵢ!); сочетания — все различные k-подмультимножества, счёт — коэффициент при x^k в Π(1+x+…+x^mᵢ) (C(n,k), если все элементы различны); подмножества — все подмультимножества со счётом Π(mᵢ+1) (2ⁿ, если различны), включая пустое. До 12 элементов, показ ограничен 200 записями, но счёт всегда точен; для сочетаний требуется 1 ≤ k ≤ n. Классика: перестановки \[A, A, B\] → 3!/2! = 3 (AAB, ABA, BAA); подмножества \[A, A, B\] → (2+1)(1+1) = 6.
- [Калькулятор тока трёхфазного КЗ (IEC 60909)](https://elysiatools.com/ru/tools/short-circuit-current-calculator): Оценка тока трёхфазного симметричного КЗ по IEC 60909 (удалённое): I"_k = c·U_n/(√3·|Z|), i_p = κ·√2·I"_k. Полное сопротивление = трансформатор + линия; κ = 1,02 + 0,98·e^(−3R/X).
- [Калькулятор функции Кармайкла λ(n)](https://elysiatools.com/ru/tools/carmichael-function): Вычисляет функцию Кармайкла λ(n) — показатель мультипликативной группы (Z/nZ)*, то есть наименьшее k, при котором a^k ≡ 1 (mod n) для всех a, взаимно простых с n. Строится по разложению: λ(2)=1, λ(4)=2, λ(2^k)=2^(k−2) (k ≥ 3), λ(p^k)=φ(p^k) для нечётных простых, затем НОК по компонентам; рядом даются φ(n), наличие первообразного корня и критерий Корсельта для распознавания чисел Кармайкла. Классика: λ(561) = 80 (561 — наименьшее число Кармайкла), а λ(8) = 2 < φ(8) = 4.
- [Китайская теорема об остатках (система сравнений)](https://elysiatools.com/ru/tools/chinese-remainder-theorem): Решает систему сравнений x ≡ rᵢ (mod mᵢ) (2–20 уравнений) обобщённой китайской теоремой об остатках с попарным слиянием: для попарно взаимно простых модулей объединённый модуль равен произведению, для не взаимно простых, но совместимой системы — НОК, а для несовместимой системы явно сообщается об отсутствии решений. Каждое сравнение проверяется подстановкой в итоговое решение. Классика: x ≡ 2 (mod 3), x ≡ 3 (mod 5), x ≡ 2 (mod 7) → x = 23 (mod 105).
- [Калькулятор функции Эйлера φ(n)](https://elysiatools.com/ru/tools/euler-totient-function): Вычисляет функцию Эйлера φ(n) — количество целых чисел в \[1, n\], взаимно простых с n. Раскладывает n на простые множители пробным делением и точно считает φ(n) = n · Π(1 − 1/p) (n ≤ 10¹²); можно вывести первые 60 взаимно простых чисел и напоминание теоремы Эйлера a^φ(n) ≡ 1 (mod n). Классика: φ(36) = 12 (36 = 2² × 3²); для простого n φ(n) = n − 1, например φ(97) = 96.
- [Конвертер Дробей и Десятичных](https://elysiatools.com/ru/tools/fraction-decimal-converter): Преобразование между дробями и десятичными числами с поддержкой смешанных чисел, неправильных дробей и различных десятичных форматов
- [Решатель матричных игр с нулевой суммой (седловая точка / линейное программирование)](https://elysiatools.com/ru/tools/game-theory-zero-sum): Решает матричные игры 2–6 × 2–6 с нулевой суммой (платёжная матрица принадлежит игроку-строке — максимизирующему; игрок-столбец платит): сначала проверка седловой точки (если максимин минимумов строк равен минимаксу максимумов столбцов, существует равновесие в чистых стратегиях и перечисляются все седловые клетки); иначе матрица сдвигается так, чтобы все элементы были ≥ 1, и однофазным симплексом (базис из остаточных переменных, правило Бланда) решается max Σz при Bz ≤ 1: прямой ответ даёт смешанную стратегию q игрока-столбца, а двойственные теневые цены — в точности решение y игрока-строки; значение сдвигается обратно, выводятся x, q, v с численной проверкой гарантий (xᵀA ≥ v, Aq ≤ v) и равенства минимакса. Классика: «орлянка» \[\[1,-1\],\[-1,1\]\] → значение 0, обе стороны смешивают 0.5/0.5.
- [Калькулятор обратного преобразования Лапласа (простые дроби)](https://elysiatools.com/ru/tools/inverse-laplace-calculator): Вычисляет обратное преобразование Лапласа для F(s) = N(s)/D(s) (правильная дробь, степень знаменателя ≤ 6): находит корни знаменателя, группирует их по кратности и сопряжённым парам, решает линейную систему по коэффициентам многочленов для разложения на простые дроби и обращает каждое слагаемое по таблице (A/(s−r)→Ae^(rt), A/(s−r)^j→At^(j−1)e^(rt)/(j−1)!, (Bs+C)/((s−α)²+β²)→e^(αt)\[Bcos(βt)+…sin(βt)\]). Классика: 1/(s²+3s+2) → e^(−t)−e^(−2t); (3s+5)/(s²+4) → 3cos(2t)+2,5sin(2t).

## Примеры

- [Примеры Обработки Изображений Web Python](https://elysiatools.com/ru/samples/web-image-processing-python): Примеры обработки изображений Web Python используя PIL/Pillow включая чтение, сохранение, изменение размера и преобразование формата
- [Примеры Обработки Изображений Android Java](https://elysiatools.com/ru/samples/android-image-processing-java): Примеры обработки изображений Android Java включая чтение/сохранение, масштабирование и преобразование формата
- [Примеры Обработки Изображений Android Kotlin](https://elysiatools.com/ru/samples/android-image-processing-kotlin): Примеры обработки изображений Android Kotlin включая чтение/сохранение, масштабирование и преобразование формата
- [Примеры Обработки Изображений Web Rust](https://elysiatools.com/ru/samples/web-image-processing-rust): Примеры обработки изображений Web Rust включая чтение/запись, масштабирование и преобразование форматов