# Решатель линейного ОДУ 2-го порядка (характеристическое уравнение)

Решает a·y'' + b·y' + c·y = f(x): находит корни характеристического уравнения ar² + br + c = 0, классифицирует однородное решение по дискриминанту (различные вещественные / кратный / комплексно-сопряжённые корни) и строит частное решение методом неопределённых коэффициентов с резонансом (если k — корень, пробная функция умножается на x^m). Поддерживаются постоянные, многочлены, A·e^(kx) и A·sin(kx)+B·cos(kx); при y(x₀) и y'(x₀) константы C1, C2 находятся из системы 2×2. Классика: y''−3y'+2y=0, y(0)=1, y'(0)=0 → y = −e^(2x)+2e^x.

> Каноническая страница: https://elysiatools.com/ru/tools/second-order-ode-solver

- **Категория:** Math & Numbers

- **Ключевые слова:** оду второго порядка, характеристическое уравнение, неопределённые коэффициенты, однородное решение, резонанс, затухающий осциллятор, задача коши, дифференциальные уравнения, матанализ

## Обзор

Онлайн-калькулятор решает линейные обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами вида a·y'' + b·y' + c·y = f(x). Инструмент вычисляет корни характеристического уравнения, формирует общее решение однородного уравнения, находит частное решение методом неопределённых коэффициентов с учётом резонанса, а также решает задачу Коши при заданных начальных условиях.

## Входные данные

- **Коэффициент a (y'')** (number): Coefficient of y'' (must be nonzero).
- **Коэффициент b (y')** (number): Coefficient of y'.
- **Коэффициент c (y)** (number): Coefficient of y.
- **Правая часть f(x)** (select)
- **F (постоянный член)** (number): Used when forcing = Constant.
- **Коэффициенты многочлена (свободный член первым)** (text): Comma-separated coefficients, constant term first (degree ≤ 5). Used when forcing = Polynomial.
- **A (амплитуда)** (number): Used when forcing = Exponential.
- **k (показатель)** (number): Used when forcing = Exponential.
- **A (амплитуда синуса)** (number): Used when forcing = Sine/cosine.
- **B (амплитуда косинуса)** (number): Used when forcing = Sine/cosine.
- **k (циклическая частота)** (number): Used when forcing = Sine/cosine.
- **x₀ (начальный x)** (number): Initial point (used with y₀ and y'₀).
- **y₀ = y(x₀)** (number): Provide together with y'₀ to pin down C1, C2.
- **y'₀ = y'(x₀)** (number): Initial derivative (both or neither of y₀, y'₀).

## Когда использовать

- Для аналитического решения однородных и неоднородных линейных ОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами.
- При исследовании резонансных явлений, когда правая часть совпадает с собственными частотами или корнями характеристического уравнения.
- Для нахождения констант C1 и C2 в задаче Коши при известных начальных значениях функции y(x₀) и её производной y'(x₀).

## Как это работает

- Составляет характеристическое уравнение a·r² + b·r + c = 0 и определяет корни по дискриминанту: два различных вещественных, один кратный или пару комплексно-сопряжённых.
- Формирует общее решение однородного ОДУ (yh) на основе полученных характеристических корней.
- Строит частное решение (yp) методом неопределённых коэффициентов для констант, многочленов, экспонент или гармонических функций с домножением на x^m в случае резонанса.
- При указании начальных условий x₀, y₀ и y'₀ составляет и решает линейную систему 2×2 для определения значений констант C1 и C2.

## Сценарии использования

- Студенты и преподаватели технических вузов для быстрой проверки аналитических решений задач по матанализу и дифференциальным уравнениям.
- Инженеры и физики, рассчитывающие механические колебания пружинного маятника и электрические переходные процессы в RLC-цепях.
- Разработчики и исследователи для верификации моделей затухающих и вынужденных колебаний с внешним гармоническим воздействием.

## Частые вопросы

### Какие типы правых частей f(x) поддерживает решатель?

Поддерживаются нулевая правая часть (однородное ОДУ), константы, алгебраические многочлены до степени 5, экспоненты A·e^(kx) и тригонометрические функции A·sin(kx) + B·cos(kx).

### Как инструмент обрабатывает резонанс?

Если показатель экспоненты k или частота синуса/косинуса совпадает с корнем характеристического уравнения, калькулятор автоматически умножает пробную функцию на x или x².

### Обязательно ли задавать начальные условия y₀ и y'₀?

Нет, начальные условия опциональны. Без них калькулятор выведет общее аналитическое решение с произвольными постоянными C1 и C2.

### Что происходит при отрицательном дискриминанте характеристического уравнения?

Программа находит комплексно-сопряжённые корни α ± iβ и записывает однородное решение через затухающие колебания e^(αx)·(C1·cos(βx) + C2·sin(βx)).

### В каком формате вводятся коэффициенты многочлена в правой части?

Коэффициенты вводятся через запятую, начиная со свободного члена. Например, строка '2,-3,0.5' соответствует многочлену 2 - 3x + 0.5x².

## Связанные инструменты

- [Калькулятор обратного преобразования Лапласа (простые дроби)](https://elysiatools.com/ru/tools/inverse-laplace-calculator): Вычисляет обратное преобразование Лапласа для F(s) = N(s)/D(s) (правильная дробь, степень знаменателя ≤ 6): находит корни знаменателя, группирует их по кратности и сопряжённым парам, решает линейную систему по коэффициентам многочленов для разложения на простые дроби и обращает каждое слагаемое по таблице (A/(s−r)→Ae^(rt), A/(s−r)^j→At^(j−1)e^(rt)/(j−1)!, (Bs+C)/((s−α)²+β²)→e^(αt)\[Bcos(βt)+…sin(βt)\]). Классика: 1/(s²+3s+2) → e^(−t)−e^(−2t); (3s+5)/(s²+4) → 3cos(2t)+2,5sin(2t).
- [Калькулятор преобразования Лапласа (таблица пар)](https://elysiatools.com/ru/tools/laplace-transform-calculator): Табличное преобразование Лапласа F(s) = ∫₀^∞ e^(−st)f(t)dt: 14 стандартных пар (1, t, tⁿ, e^(at), tⁿe^(at), sin/cos(kt) с экспоненциальным сдвигом, sinh/cosh, t·sin/t·cos, δ(t)), с подстановкой параметров, областью сходимости (например s > a), ходом вывода и необязательным численным вычислением в точке s (со проверкой сходимости). Пример: L{e^t} = 1/(s−1), s>1, F(2) = 1.
- [Калькулятор разложения на простые дроби (рациональные функции)](https://elysiatools.com/ru/tools/partial-fraction-decomposer): Разлагает рациональную функцию F(x) = N(x)/D(x) на простые дроби (степень знаменателя ≤ 6, числителя ≤ 8; неправильные дроби сначала делятся уголком): корни знаменателя находятся методом Дюрана–Кернера и группируются по кратности и сопряжённым парам, точная линейная система по коэффициентам даёт слагаемые A/(x−r)^j и (Bx+C)/((x−α)²+β²), затем выполняется численная проверка невязки в алгебраических пробных точках. Классика: (3x+5)/(x²+3x+2) = 2/(x+1) + 1/(x+2); (x³+2x)/(x²+1) = x + x/(x²+1); 1/(x(x+1)²) = 1/x − 1/(x+1) − 1/(x+1)².
- [Калькулятор Z-преобразования (дискретные системы)](https://elysiatools.com/ru/tools/z-transform-calculator): Табличное одностороннее Z-преобразование X(z) = Σₙ₌₀^∞ x\[n\]·z^(−n): 11 стандартных пар (δ\[n\], u\[n\], aⁿ, n, n², n·aⁿ, sin/cos(ω₀n), aⁿ·sin/aⁿ·cos, (−1)ⁿ), с подстановкой параметров, областью сходимости |z| > R, ходом вывода и необязательным численным вычислением в точке z (со проверкой сходимости). Пример: Z{0.5ⁿ} = z/(z−0.5), |z| > 0.5, X(2) = 4/3.
- [Калькулятор абсолютного значения](https://elysiatools.com/ru/tools/absolute-value-calculator): Вычисляет абсолютное значение положительных, отрицательных и десятичных чисел и показывает расстояние до нуля
- [Калькулятор воздухообмена ACH (n = Q/V)](https://elysiatools.com/ru/tools/air-changes-per-hour): Вычисляет воздухообмен n=Q/V (1/ч) по расходу наружного воздуха Q и объёму V. Три режима: n (Q,V), расход (n,V) или объём (n,Q). Расход в м³/с/м³/ч/CFM, объём в м³/фт³/л. Даёт время достижения цели очистки (доля остатка, по умолчанию 1%) по модели полного смешения: t=−ln(ε)/n.
- [Калькулятор ресурса L10 подшипника качения](https://elysiatools.com/ru/tools/bearing-life-l10): Расчёт базового ресурса L10 = (C/P)^p подшипника качения. Шариковый p=3, роликовый p=10/3. При заданной скорости — L10h в часах.
- [Калькулятор момента и силы затяжки болта](https://elysiatools.com/ru/tools/bolt-torque-clamp-force): Перевод между моментом затяжки и осевой силой болта. T = K·F·d, K — коэффициент гайки (≈0.20 сухая сталь). Момент по силе или сила по моменту.

## Примеры

- [Примеры Обработки Изображений Web Python](https://elysiatools.com/ru/samples/web-image-processing-python): Примеры обработки изображений Web Python используя PIL/Pillow включая чтение, сохранение, изменение размера и преобразование формата
- [Примеры Обработки Изображений Android Java](https://elysiatools.com/ru/samples/android-image-processing-java): Примеры обработки изображений Android Java включая чтение/сохранение, масштабирование и преобразование формата
- [Примеры Обработки Изображений Android Kotlin](https://elysiatools.com/ru/samples/android-image-processing-kotlin): Примеры обработки изображений Android Kotlin включая чтение/сохранение, масштабирование и преобразование формата
- [Примеры Обработки Изображений Web Rust](https://elysiatools.com/ru/samples/web-image-processing-rust): Примеры обработки изображений Web Rust включая чтение/запись, масштабирование и преобразование форматов

## Связанные материалы

- [Инструменты кодирования и конвертации аудио](https://elysiatools.com/ru/hubs/audio-convert): Сравните инструменты конвертации аудиоформатов, изменения битрейта, частоты дискретизации, смены кодека и экспорта в одном хабе.
- [Инструменты конвертации форматов изображений и анимированного экспорта](https://elysiatools.com/ru/hubs/image-convert): Сравните конвертеры JPG, PNG, GIF, AVIF, WebP, TIFF, ICO, base64 и инструменты экспорта анимированных изображений в одном хабе.
- [Инструменты JSON-обмена и перевода форматов](https://elysiatools.com/ru/hubs/json-convert): Сравните инструменты преобразования JSON для CSV, YAML, TOML, GraphQL, XML, Markdown, Excel, BSON, EDN и других структурированных форматов в одном хабе.
- [Инструменты перевода цветовых пространств для веба и печати](https://elysiatools.com/ru/hubs/design-convert): Подборка инструментов для перевода цветовых пространств между вебом и печатью в одном хабе.