# Калькулятор многоканальной СМО M/M/c

Вычисляет стационарные характеристики многоканальной СМО M/M/c (пуассоновский поток λ, c одинаковых экспоненциальных каналов с интенсивностью μ, общая очередь FCFS): выводятся нагрузка a = λ/μ, загрузка канала ρ, вероятность простоя P0, вероятность ожидания (Эрланг-C) Pw, средние Lq, L и времена W, Wq с перекрёстной проверкой по формуле Литтла и связи Pw→Lq. Требуется λ < cμ, иначе вход отклоняется как неустойчивый; при c = 1 формулы переходят в M/M/1. Классика: λ = 6/ч, μ = 3/ч, c = 3 → P0 = 0.1111, Pw = 0.4444, Lq = 0.8889, L = 2.8889.

> Каноническая страница: https://elysiatools.com/ru/tools/queuing-theory-mmc

- **Категория:** Math & Numbers

- **Ключевые слова:** теория массового обслуживания, mmс, m/m/c, многоканальная смо, эрланг c, вероятность ожидания, формула литтла, персонал колл-центра, пуассоновский поток, исследование операций

## Обзор

Калькулятор многоканальной СМО M/M/c рассчитывает стационарные характеристики системы массового обслуживания с пуассоновским входящим потоком и несколькими параллельными каналами. Инструмент мгновенно вычисляет приведенную нагрузку, коэффициент загрузки каналов, вероятность простоя P₀, формулу Эрланга-C (вероятность ожидания Pw), а также среднюю длину очереди Lq, число заявок в системе L и среднее время пребывания W и ожидания Wq.

## Входные данные

- **Интенсивность прибытия λ (за единицу времени)** (number): Average arrivals per time unit (Poisson process). Must be below c·μ.
- **Интенсивность обслуживания μ (на канал, за единицу времени)** (number): Average services per time unit for each of the c servers.
- **Каналов (c)** (number): Number of parallel identical servers (1–20). c = 1 reproduces the M/M/1 formulas.
- **Знаков после запятой** (number)

## Когда использовать

- При расчете необходимого количества операторов в колл-центре или кассиров для соблюдения целевого времени ожидания.
- При проектировании многопоточных вычислительных сервисов и пулов воркеров с общей очередью задач.
- При решении учебных и исследовательских задач по теории массового обслуживания и исследованию операций.

## Как это работает

- Введите интенсивность входящего потока заявок λ и интенсивность обслуживания одним каналом μ в одинаковых единицах времени.
- Укажите число параллельных каналов обслуживания c (от 1 до 20) и требуемую точность округления.
- Калькулятор проверяет условие устойчивости системы (λ < c·μ) и рассчитывает вероятность простоя P₀, формулу Эрланга-C для Pw, а также показатели L, Lq, W и Wq с проверкой по формуле Литтла.

## Сценарии использования

- Оптимизация численности персонала в банковских отделениях, центрах обслуживания клиентов и кассовых зонах.
- Расчет сетевой инфраструктуры и балансировки нагрузки веб-серверов с многопоточной обработкой запросов.
- Моделирование пропускной способности пунктов контроля, логистических терминалов и погрузочно-разгрузочных постов.

## Частые вопросы

### Что означает условие устойчивости λ < c·μ?

Суммарная пропускная способность всех c каналов должна строго превышать входящий поток заявок, иначе очередь будет бесконечно расти.

### Чем модель M/M/c отличается от M/M/1?

В M/M/c заявки из общей очереди распределяются по c параллельным серверам; при c = 1 модель автоматически сводится к M/M/1.

### Что показывает вероятность Pw (формула Эрланга-C)?

Pw показывает вероятность того, что вновь прибывшая заявка застанет все c каналов занятыми и будет вынуждена ожидать в очереди.

### В каких единицах указывать параметры λ и μ?

Параметры должны быть выражены в одной временной шкале: например, количество заявок в час или транзакций в секунду.

### Как связаны показатели Lq и Wq?

Они связаны формулой Литтла: средняя длина очереди Lq равна произведению интенсивности входящего потока λ на среднее время ожидания Wq.

## Связанные инструменты

- [Тьютор размерного анализа и сокращения единиц](https://elysiatools.com/ru/tools/dimensional-analysis-unit-cancellation-tutor): Разбирает перевод единиц в пошаговое сокращение factor-label: показывает отмену единиц в числителе/знаменателе, находит перевёрнутые коэффициенты и даёт учебную обратную связь при ошибках размерности и ответа.
- [Генератор перестановок / сочетаний / подмножеств (с повторами)](https://elysiatools.com/ru/tools/combinatorial-generation): Генерирует перестановки, сочетания и подмножества мультимножества с автодедупликацией в лексикографическом порядке: перестановки — методом next_permutation с точным счётом n!/Π(mᵢ!); сочетания — все различные k-подмультимножества, счёт — коэффициент при x^k в Π(1+x+…+x^mᵢ) (C(n,k), если все элементы различны); подмножества — все подмультимножества со счётом Π(mᵢ+1) (2ⁿ, если различны), включая пустое. До 12 элементов, показ ограничен 200 записями, но счёт всегда точен; для сочетаний требуется 1 ≤ k ≤ n. Классика: перестановки \[A, A, B\] → 3!/2! = 3 (AAB, ABA, BAA); подмножества \[A, A, B\] → (2+1)(1+1) = 6.
- [Решатель матричных игр с нулевой суммой (седловая точка / линейное программирование)](https://elysiatools.com/ru/tools/game-theory-zero-sum): Решает матричные игры 2–6 × 2–6 с нулевой суммой (платёжная матрица принадлежит игроку-строке — максимизирующему; игрок-столбец платит): сначала проверка седловой точки (если максимин минимумов строк равен минимаксу максимумов столбцов, существует равновесие в чистых стратегиях и перечисляются все седловые клетки); иначе матрица сдвигается так, чтобы все элементы были ≥ 1, и однофазным симплексом (базис из остаточных переменных, правило Бланда) решается max Σz при Bz ≤ 1: прямой ответ даёт смешанную стратегию q игрока-столбца, а двойственные теневые цены — в точности решение y игрока-строки; значение сдвигается обратно, выводятся x, q, v с численной проверкой гарантий (xᵀA ≥ v, Aq ≤ v) и равенства минимакса. Классика: «орлянка» \[\[1,-1\],\[-1,1\]\] → значение 0, обе стороны смешивают 0.5/0.5.
- [Калькулятор обратного преобразования Лапласа (простые дроби)](https://elysiatools.com/ru/tools/inverse-laplace-calculator): Вычисляет обратное преобразование Лапласа для F(s) = N(s)/D(s) (правильная дробь, степень знаменателя ≤ 6): находит корни знаменателя, группирует их по кратности и сопряжённым парам, решает линейную систему по коэффициентам многочленов для разложения на простые дроби и обращает каждое слагаемое по таблице (A/(s−r)→Ae^(rt), A/(s−r)^j→At^(j−1)e^(rt)/(j−1)!, (Bs+C)/((s−α)²+β²)→e^(αt)\[Bcos(βt)+…sin(βt)\]). Классика: 1/(s²+3s+2) → e^(−t)−e^(−2t); (3s+5)/(s²+4) → 3cos(2t)+2,5sin(2t).
- [Калькулятор преобразования Лапласа (таблица пар)](https://elysiatools.com/ru/tools/laplace-transform-calculator): Табличное преобразование Лапласа F(s) = ∫₀^∞ e^(−st)f(t)dt: 14 стандартных пар (1, t, tⁿ, e^(at), tⁿe^(at), sin/cos(kt) с экспоненциальным сдвигом, sinh/cosh, t·sin/t·cos, δ(t)), с подстановкой параметров, областью сходимости (например s > a), ходом вывода и необязательным численным вычислением в точке s (со проверкой сходимости). Пример: L{e^t} = 1/(s−1), s>1, F(2) = 1.
- [Калькулятор разложения на простые дроби (рациональные функции)](https://elysiatools.com/ru/tools/partial-fraction-decomposer): Разлагает рациональную функцию F(x) = N(x)/D(x) на простые дроби (степень знаменателя ≤ 6, числителя ≤ 8; неправильные дроби сначала делятся уголком): корни знаменателя находятся методом Дюрана–Кернера и группируются по кратности и сопряжённым парам, точная линейная система по коэффициентам даёт слагаемые A/(x−r)^j и (Bx+C)/((x−α)²+β²), затем выполняется численная проверка невязки в алгебраических пробных точках. Классика: (3x+5)/(x²+3x+2) = 2/(x+1) + 1/(x+2); (x³+2x)/(x²+1) = x + x/(x²+1); 1/(x(x+1)²) = 1/x − 1/(x+1) − 1/(x+1)².
- [Анализатор сетей PERT (ожидаемый срок/дисперсия)](https://elysiatools.com/ru/tools/pert-network-analyzer): Анализ PERT по трёхточечным оценкам для 2–20 работ (по одной на строку: название, оптимистичная a, наиболее вероятная m, пессимистичная b, предшественники): te = (a+4m+b)/6, σ² = ((b−a)/6)²; CPM на te даёт критический путь, ожидаемый срок TE и дисперсию проекта (сумма σ² по критическому пути); при целевом сроке T вычисляются Z = (T−TE)/σ и вероятность завершения Φ(Z) по нормальному приближению. Нарушения a≤m≤b и циклы отклоняются; детерминированные сети (σ≈0) обрабатываются без деления на ноль. Классика: A(2,4,6), B(3,5,7), C(2,3,10), D(4,6,8, B C) → TE = 15, σ² = 1.3333, P(T=16) ≈ 80.7%.
- [Проверитель Простых Чисел](https://elysiatools.com/ru/tools/prime-number-checker): Проверяет, является ли число простым (натуральное число больше 1, не имеющее положительных делителей, кроме 1 и самого себя)

## Примеры

- [Примеры RocketMQ Message Queue](https://elysiatools.com/ru/samples/rocketmq-samples): Примеры Apache RocketMQ включая продюсеры, потребители, упорядоченные сообщения, отложенные сообщения, широковещательное потребление и транзакционные сообщения для высокопроизводительного обмена сообщениями
- [Примеры Обработки Изображений Web Python](https://elysiatools.com/ru/samples/web-image-processing-python): Примеры обработки изображений Web Python используя PIL/Pillow включая чтение, сохранение, изменение размера и преобразование формата
- [Примеры Мультитенантной Архитектуры](https://elysiatools.com/ru/samples/multi-tenant): Комплексные паттерны мультитенантной архитектуры, включая изоляцию данных, управление тенантами, квоты ресурсов и white-label решения
- [Примеры Обработки Изображений Android Java](https://elysiatools.com/ru/samples/android-image-processing-java): Примеры обработки изображений Android Java включая чтение/сохранение, масштабирование и преобразование формата

## Связанные материалы

- [Инструменты кодирования и конвертации аудио](https://elysiatools.com/ru/hubs/audio-convert): Сравните инструменты конвертации аудиоформатов, изменения битрейта, частоты дискретизации, смены кодека и экспорта в одном хабе.
- [Инструменты конвертации форматов изображений и анимированного экспорта](https://elysiatools.com/ru/hubs/image-convert): Сравните конвертеры JPG, PNG, GIF, AVIF, WebP, TIFF, ICO, base64 и инструменты экспорта анимированных изображений в одном хабе.
- [Инструменты JSON-обмена и перевода форматов](https://elysiatools.com/ru/hubs/json-convert): Сравните инструменты преобразования JSON для CSV, YAML, TOML, GraphQL, XML, Markdown, Excel, BSON, EDN и других структурированных форматов в одном хабе.
- [Инструменты перевода цветовых пространств для веба и печати](https://elysiatools.com/ru/hubs/design-convert): Подборка инструментов для перевода цветовых пространств между вебом и печатью в одном хабе.