# Калькулятор системы массового обслуживания M/M/1

Вычисляет стационарные характеристики одноканальной СМО M/M/1: пуассоновский входящий поток (λ), экспоненциальное обслуживание (μ), дисциплина FCFS. Требуется λ < μ, иначе система неустойчива и запрос отклоняется. Выводятся загрузка ρ, вероятность простоя P0, средние L (в системе), Lq (в очереди), времена W и Wq, вероятность ожидания ρ и вероятности состояний P(n) = (1−ρ)ρⁿ (n = 0…5) с перекрёстной проверкой по формуле Литтла L = λW, Lq = λWq. Классика: λ = 4/ч, μ = 6/ч → ρ = 0.6667, L = 2, Lq = 1.3333, W = 0.5, Wq = 0.3333.

> Каноническая страница: https://elysiatools.com/ru/tools/queuing-theory-mm1

- **Категория:** Math & Numbers

- **Ключевые слова:** теория массового обслуживания, смо, mm1, m/m/1, очередь, формула литтла, загрузка, пуассоновский поток, экспоненциальное обслуживание, исследование операций

## Обзор

Онлайн-калькулятор СМО M/M/1 позволяет мгновенно рассчитать стационарные характеристики одноканальной системы массового обслуживания с пуассоновским входящим потоком и экспоненциальным временем обслуживания. Инструмент определяет коэффициент загрузки узла, среднюю длину очереди и системы, время ожидания и пребывания заявки, а также рассчитывает распределение вероятностей состояний с валидацией по формуле Литтла.

## Входные данные

- **Интенсивность прибытия λ (за единицу времени)** (number): Average arrivals per time unit (Poisson process). Must be below the service rate μ.
- **Интенсивность обслуживания μ (за единицу времени)** (number): Average services per time unit (exponential distribution). Must exceed the arrival rate λ.
- **Знаков после запятой** (number)

## Когда использовать

- При проектировании пропускной способности сервисных центров, касс или однопоточных пунктов обслуживания.
- Для оценки задержек и средней длины очереди пакетов в сетевых интерфейсах и серверных процессах.
- При решении учебных и исследовательских задач по теории массового обслуживания и исследованию операций.

## Как это работает

- Введите среднюю интенсивность входящего потока заявок (λ) за выбранную единицу времени.
- Укажите среднюю интенсивность обслуживания одного канала (μ), соблюдая условие устойчивости λ < μ.
- Задайте желаемое количество знаков после запятой для округления результатов расчёта.
- Получите коэффициенты загрузки, средние времена пребывания и ожидания, среднее число заявок и вероятности состояний P(0)–P(5).

## Сценарии использования

- Расчёт времени обслуживания и длины очереди клиентов на одной стойке регистрации или в кассе.
- Моделирование буфера сетевого маршрутизатора при обработке входящего потока пакетов одним ядром.
- Проверка и верификация решений курсовых и расчетных работ по теории вероятностей и исследованию операций.

## Частые вопросы

### Почему калькулятор требует выполнения условия λ < μ?

Если интенсивность поступления заявок превышает или равна интенсивности обслуживания, очередь растет бесконечно, и стационарное состояние системы не существует.

### Что означают параметры L, Lq, W и Wq?

L — среднее число заявок во всей системе, Lq — в очереди, W — среднее время пребывания заявки в системе, Wq — среднее время ожидания в очереди.

### Какая дисциплина обслуживания используется в модели M/M/1?

Модель использует стандартную дисциплину FCFS (First-Come, First-Served), при которой заявки обслуживаются в порядке их поступления.

### Как рассчитывается вероятность простоя системы P0?

Вероятность отсутствия заявок в системе вычисляется как P0 = 1 − ρ, где ρ = λ / μ — коэффициент загрузки обслуживающего канала.

### Как проверяется корректность расчётов?

Результаты автоматически сверяются по закону Литтла через соотношения L = λ·W и Lq = λ·Wq.

## Связанные инструменты

- [Проверка совершенных чисел](https://elysiatools.com/ru/tools/perfect-number-checker): Проверяет, является ли n совершенным числом (равным сумме собственных делителей, σ(n) = 2n). Раскладывает n (≤ 10¹²) пробным делением, вычисляет σ(n) и сумму собственных делителей по формуле для простых степеней, классифицирует n как недостаточное/совершенное/избыточное и даёт индекс изобилия σ(n)/n; для совершенных чисел восстанавливает форму Евклида–Эйлера 2^(p−1)·(2^p − 1) и перечисляет все семь чётных совершенных чисел до 10¹². Может вывести собственные делители, если их ≤ 200.
- [Проверитель Простых Чисел](https://elysiatools.com/ru/tools/prime-number-checker): Проверяет, является ли число простым (натуральное число больше 1, не имеющее положительных делителей, кроме 1 и самого себя)
- [Калькулятор многоканальной СМО M/M/c](https://elysiatools.com/ru/tools/queuing-theory-mmc): Вычисляет стационарные характеристики многоканальной СМО M/M/c (пуассоновский поток λ, c одинаковых экспоненциальных каналов с интенсивностью μ, общая очередь FCFS): выводятся нагрузка a = λ/μ, загрузка канала ρ, вероятность простоя P0, вероятность ожидания (Эрланг-C) Pw, средние Lq, L и времена W, Wq с перекрёстной проверкой по формуле Литтла и связи Pw→Lq. Требуется λ < cμ, иначе вход отклоняется как неустойчивый; при c = 1 формулы переходят в M/M/1. Классика: λ = 6/ч, μ = 3/ч, c = 3 → P0 = 0.1111, Pw = 0.4444, Lq = 0.8889, L = 2.8889.
- [Проверка простоты по теореме Вильсона](https://elysiatools.com/ru/tools/wilson-theorem-checker): Проверка простоты по теореме Вильсона: (n−1)! ≡ −1 (mod n) тогда и только тогда, когда n простое. Вычет (n−1)! mod n накапливается пошагово (n ≤ 10⁷), сверяется с детерминированным Миллером–Рабином, а для составных n проверяется факториальный закон (при n > 4 (n−1)! ≡ 0 (mod n), единственное исключение — n = 4). Может показать последовательность промежуточных произведений k! mod n (n ≤ 200).
- [Тьютор размерного анализа и сокращения единиц](https://elysiatools.com/ru/tools/dimensional-analysis-unit-cancellation-tutor): Разбирает перевод единиц в пошаговое сокращение factor-label: показывает отмену единиц в числителе/знаменателе, находит перевёрнутые коэффициенты и даёт учебную обратную связь при ошибках размерности и ответа.
- [Калькулятор умножения матриц](https://elysiatools.com/ru/tools/matrix-multiplication-calculator): Перемножает две матрицы, проверяет размеры и при необходимости показывает шаги
- [Калькулятор коэффициента трения трубы (Коулбрук-Уайт / Хааланд / ламинарный)](https://elysiatools.com/ru/tools/pipe-friction-factor): Расчёт коэффициента трения Дарси: при Re<2000 — ламинарная формула f=64/Re; в турбулентном режиме уравнение Коулбрука-Уайта решается итерационно, дополнительно выдаётся явное приближение Хааланда для перекрёстной проверки. ε в м/мм/мкм, D в м/см/мм; результат включает относительную шероховатость ε/D, число итераций и режим течения.
- [Калькулятор делимости](https://elysiatools.com/ru/tools/divisibility-calculator): Проверяет, делится ли одно целое число на другое, и показывает частное, остаток и при желании подсказку по правилу делимости

## Примеры

- [Примеры RocketMQ Message Queue](https://elysiatools.com/ru/samples/rocketmq-samples): Примеры Apache RocketMQ включая продюсеры, потребители, упорядоченные сообщения, отложенные сообщения, широковещательное потребление и транзакционные сообщения для высокопроизводительного обмена сообщениями
- [Примеры Обработки Изображений Android Java](https://elysiatools.com/ru/samples/android-image-processing-java): Примеры обработки изображений Android Java включая чтение/сохранение, масштабирование и преобразование формата
- [Примеры Обработки Изображений Android Kotlin](https://elysiatools.com/ru/samples/android-image-processing-kotlin): Примеры обработки изображений Android Kotlin включая чтение/сохранение, масштабирование и преобразование формата
- [Примеры Обработки Изображений Web Python](https://elysiatools.com/ru/samples/web-image-processing-python): Примеры обработки изображений Web Python используя PIL/Pillow включая чтение, сохранение, изменение размера и преобразование формата