# Проверка квадратичного вычета (символы Лежандра/Якоби)

Вычисляет символ Якоби (a/n) (нечётное n до 10¹⁸; для простого n это символ Лежандра): по простому модулю a^((n−1)/2) ≡ 1 означает квадратичный вычет, а Tonelli–Shanks (или прямая формула при p ≡ 3 (mod 4)) даёт корни ±√a; символ −1 гарантирует, что a — невыт. По составному модулю символ лишь необходим: −1 доказывает невычет, +1 ничего не гарантирует (при n ≤ 10⁵ ответ находится перебором). Классика: 10 — квадратичный вычет mod 13 с корнями ±6.

> Каноническая страница: https://elysiatools.com/ru/tools/quadratic-residue-checker

- **Категория:** Math & Numbers

- **Ключевые слова:** квадратичный вычет, символ лежандра, символ якоби, tonelli-shanks, квадратный корень по модулю, критерий эйлера, миллер-рабин, теория чисел

## Обзор

Инструмент проверяет, является ли число квадратичным вычетом по нечётному модулю, вычисляет символы Лежандра и Якоби, а также находит модульные квадратные корни с помощью алгоритма Тонелли — Шенкса для простых чисел.

## Входные данные

- **Значение a** (text): The value being tested for squareness; reduced mod n first (up to 10⁵¹²).
- **Модуль n (нечётный)** (text): Odd modulus, 3 ≤ n ≤ 10¹⁸ (primality tested with deterministic Miller–Rabin).
- **Если n простое, решить x² ≡ a (mod n)** (checkbox): Run Tonelli–Shanks and print the square roots when they exist.

## Когда использовать

- При решении теоретико-числовых уравнений вида x² ≡ a (mod n) в криптографии и математических задачах.
- Для быстрого вычисления символа Якоби (a/n) или символа Лежандра по заданному нечётному модулю.
- Когда требуется найти корни модульного квадратного уравнения или проверить простоту модуля детерминированным тестом Миллера — Рабина.

## Как это работает

- Значение a приводится по модулю n, а модуль n проверяется на простоту с помощью детерминированного теста Миллера — Рабина.
- Вычисляется символ Якоби (a/n), который для простого модуля совпадает с символом Лежандра и однозначно определяет, является ли a вычетом (+1) или невычетом (−1).
- Для простых модулей при наличии вычета запускается алгоритм Тонелли — Шенкса (или прямая формула при n ≡ 3 mod 4) для нахождения корней x ≡ ±√a (mod n).
- Для составных модулей до 10⁵ при значении символа Якоби +1 выполняется полный перебор для точного подтверждения или опровержения существования квадратичного вычета.

## Сценарии использования

- Проверка разрешимости квадратичных сравнений при реализации асимметричных криптографических протоколов.
- Быстрое вычисление квадратных корней в конечных полях при решении задач на олимпиадах и университетских курсах по высшей алгебре.
- Анализ свойств вычетов и невычетов в криптографических тестах псевдослучайных генераторов (например, алгоритма Блюма — Блюма — Шуба).

## Частые вопросы

### В чём разница между символом Лежандра и символом Якоби?

Символ Лежандра определён только для простых модулей, а символ Якоби обобщает его на любые нечётные составные числа как произведение символов Лежандра простых множителей.

### Означает ли символ Якоби (a/n) = 1, что a является квадратичным вычетом?

Только если n — простое число. Для составного n равенство +1 является лишь необходимым условием, и число может оказаться невычетом.

### Какие ограничения действуют на входные параметры a и n?

Модуль n должен быть нечётным целым числом в диапазоне от 3 до 10¹⁸, а проверяемое число a может содержать до 512 знаков.

### Какой алгоритм используется для извлечения квадратного корня по модулю?

Для простых модулей применяется алгоритм Тонелли — Шенкса или аналитическая формула x ≡ a^((n+1)/4) (mod n) при n ≡ 3 (mod 4).

### Как инструмент обрабатывает составные модули?

При n ≤ 10⁵ инструмент проводит прямой перебор для точного поиска корней; если символ Якоби равен −1, число гарантированно признаётся невычетом.

## Связанные инструменты

- [Интерпретация КЩС (AG / ΔAG)](https://elysiatools.com/ru/tools/blood-gas-anion-gap): Систематическая интерпретация газов крови, объединяющая анионную разницу (AG) и delta-delta (ΔAG/ΔHCO₃⁻) для выявления смешанных нарушений. Шаги: ①pH (ацидемия/норма/алкемия); ②первичное нарушение; ③компенсация (Winter PaCO₂=1.5×HCO₃+8±2); ④AG=Na−Cl−HCO₃ (±коррекция на альбумин); ⑤Delta ratio: <0.4 нормальный AG, 0.4–0.8 смешанный, 1–2 чистый HAGMA, >2 HAGMA+алкалоз. В отличие от anion-gap-calculator, этот инструмент делает полную интерпретацию. Источники: Emmett 2016, Kraut CJASN 2007, Rastegar 2007, LITFL, MDCalc, Adrogué NEJM 1998. Не медицинская консультация.
- [Поиск первообразных корней по модулю n](https://elysiatools.com/ru/tools/primitive-root-finder): Ищет первообразные корни по модулю n: проверяет, что n ∈ {2, 4, p^k, 2p^k} (циклическая мультипликативная группа), находит наименьший корень с сертификатом g^(φ/q) ≠ 1 для каждого простого q | φ(n), считает их количество как φ(φ(n)), выводит до 50 корней или проверяет, равен ли порядок кандидата g числу φ(n). До 10¹².
- [Сравнение тяжести пневмонии (CURB-65 / PSI / SMART-COP)](https://elysiatools.com/ru/tools/curb-65-vs-pneumonia-severity): Одновременно рассчитывает три шкалы пневмонии и сравнивает их: CURB-65 (0-5, маршрутизация), PSI/PORT (класс I-V, наиболее точная стратификация летальности), SMART-COP (0-10, предсказывает потребность в ИВЛ/вазопрессорах в ОРИТ). У каждой свой фокус: CURB-65 быстр; PSI точен, но сложнее; SMART-COP выявляет нуждающихся в ОРИТ. Выводит баллы и категорию каждой шкалы, а также согласованность (все ли указывают на амбулаторно/госпитализацию/ОРИТ). При расхождении предпочтительнее более консервативное решение. Источники: Lim 2003, Fine 1997, Charles 2008. Не медицинская консультация.
- [Калькулятор концентрации ДНК (по поглощению A260)](https://elysiatools.com/ru/tools/dna-concentration-a260): Определяет концентрацию ДНК по UV-поглощению при 260 нм: концентрация (мкг/мл) = A260 × фактор разведения × константа ÷ длина пути (см). Константы: двуцепочечная ДНК 1 OD = 50 мкг/мл, одноцепочечная 1 OD = 33 мкг/мл (РНК 40 — см. отдельный инструмент). 1 мкг/мл = 1 нг/мкл; укажите объём элюции, чтобы получить общий выход в мкг. Учтён линейный диапазон 0.1–1.5: ниже 0.1 доминирует шум, выше 1.5 детектор может насыщаться. Чистоту оценивайте по OD260/280. Источники: Marmur & Doty 1961/1962, Sambrook & Russell, Thermo Fisher NanoDrop. Только для обучения и планирования.
- [Детектор Типа Файла (Магическое Число)](https://elysiatools.com/ru/tools/file-type-detect): Определяет тип файла по сигнатуре байтов (магическому числу), а не расширению. Читает загруженный файл, ~70 типов.
- [Калькулятор чистоты OD260/230 (загрязнение солями/органикой)](https://elysiatools.com/ru/tools/od260-230-ratio): Оценивает загрязнение солями и органическими растворителями по отношению OD260/230 — проверка, дополняющая 260/280 тем, чего та не видит: чистая нуклеиновая кислота даёт 2.0–2.2, а значение ниже 2.0 указывает на остатки гуанидина (TRIzol/колоночные наборы), фенола, углеводов, EDTA, высоких солей или β-меркаптоэтанола; 2.2–2.3 обычно допустимый эффект буфера; выше 2.3 — артефакт воды/буфера, стоит перемерять. Опциональное A280 даёт перекрёстную проверку OD260/280 (ДНК ~1.8, РНК ~2.0): одна серия измерений закрывает оба измерения чистоты. При показаниях < ~0.05 отношение недостоверно. Источники: Thermo Fisher T042, Sambrook & Russell, Manchester 1995. Только для обучения.
- [Калькулятор чистоты нуклеиновых кислот (OD260/280)](https://elysiatools.com/ru/tools/od260-280-ratio): Оценивает чистоту препаратов нуклеиновых кислот по отношению OD260/280: основания максимально поглощают при 260 нм, а ароматические аминокислоты белка (и фенол) — около 280 нм, поэтому A260/A280 выявляет примеси белка/фенола. Ожидаемые значения: чистая ДНК ≈ 1.8 (окно 1.7–2.0), чистая РНК ≈ 2.0 (окно 1.8–2.2); ДНК < 1.7 или РНК < 1.8 — загрязнение белком/фенолом/гуанидином, ДНК > 2.0 — примесь РНК, РНК > 2.2 — артефакт измерения (низкая ионная сила). Опционально A230 для вторичного отношения A260/A230 (чистое 2.0–2.2; ниже — гуанидин/фенол/углеводы/соли). При показаниях < ~0.05 отношение недостоверно. Источники: Manchester 1995, Sambrook & Russell, Thermo Fisher T042. Только для обучения.
- [Проверка совершенных чисел](https://elysiatools.com/ru/tools/perfect-number-checker): Проверяет, является ли n совершенным числом (равным сумме собственных делителей, σ(n) = 2n). Раскладывает n (≤ 10¹²) пробным делением, вычисляет σ(n) и сумму собственных делителей по формуле для простых степеней, классифицирует n как недостаточное/совершенное/избыточное и даёт индекс изобилия σ(n)/n; для совершенных чисел восстанавливает форму Евклида–Эйлера 2^(p−1)·(2^p − 1) и перечисляет все семь чётных совершенных чисел до 10¹². Может вывести собственные делители, если их ≤ 200.

## Примеры

- [Примеры Обработки Изображений Web Python](https://elysiatools.com/ru/samples/web-image-processing-python): Примеры обработки изображений Web Python используя PIL/Pillow включая чтение, сохранение, изменение размера и преобразование формата
- [Примеры Обработки Изображений Android Java](https://elysiatools.com/ru/samples/android-image-processing-java): Примеры обработки изображений Android Java включая чтение/сохранение, масштабирование и преобразование формата
- [Примеры Обработки Изображений Android Kotlin](https://elysiatools.com/ru/samples/android-image-processing-kotlin): Примеры обработки изображений Android Kotlin включая чтение/сохранение, масштабирование и преобразование формата
- [Примеры Обработки Изображений Web Rust](https://elysiatools.com/ru/samples/web-image-processing-rust): Примеры обработки изображений Web Rust включая чтение/запись, масштабирование и преобразование форматов