# Проверка совершенных чисел

Проверяет, является ли n совершенным числом (равным сумме собственных делителей, σ(n) = 2n). Раскладывает n (≤ 10¹²) пробным делением, вычисляет σ(n) и сумму собственных делителей по формуле для простых степеней, классифицирует n как недостаточное/совершенное/избыточное и даёт индекс изобилия σ(n)/n; для совершенных чисел восстанавливает форму Евклида–Эйлера 2^(p−1)·(2^p − 1) и перечисляет все семь чётных совершенных чисел до 10¹². Может вывести собственные делители, если их ≤ 200.

> Каноническая страница: https://elysiatools.com/ru/tools/perfect-number-checker

- **Категория:** Math & Numbers

- **Ключевые слова:** совершенное число, аликвотная сумма, избыточное число, недостаточное число, индекс изобилия, делители, простое число мерсена, теория чисел

## Обзор

Инструмент «Проверка совершенных чисел» определяет, равен ли заданный ввод n сумме своих собственных делителей (σ(n) = 2n) для чисел до 10¹². Сервис выполняет факторизацию на простые множители, находит сумму делителей, рассчитывает индекс изобилия, классифицирует число как недостаточное, совершенное или избыточное, а также восстанавливает формулу Евклида–Эйлера для обнаруженных совершенных чисел.

## Входные данные

- **Число n** (text): 1 ≤ n ≤ 10¹² (trial-division factorization bound).
- **Уровень детализации** (select)

## Когда использовать

- Проверка гипотез и решение задач по теории чисел, связанных с делимостью и аликвотными суммами.
- Классификация чисел на совершенные, избыточные или недостаточные с расчётом индекса изобилия σ(n)/n.
- Быстрое разложение на простые множители и получение списка собственных делителей для чисел до 10¹².

## Как это работает

- Введите натуральное число n в диапазоне от 1 до 10¹² и выберите уровень детализации отчёта.
- Алгоритм выполняет факторизацию числа методом пробного деления и вычисляет функцию делителей σ(n) по формуле для простых степеней.
- Инструмент находит сумму собственных делителей σ(n) − n, определяет класс числа и его индекс изобилия σ(n)/n.
- Для совершенных чисел восстанавливается представление Евклида–Эйлера 2^(p−1)·(2^p − 1) со связанным простым числом Мерсенна, а при выборе соответствующей опции выводится список делителей (до 200).

## Сценарии использования

- Подготовка учебных материалов и практических заданий по высшей алгебре и дискретной математике.
- Анализ свойств делимости и проверка числовых рядов в олимпиадных задачах по математике.
- Исследование простых чисел Мерсенна и поиск связанных с ними чётных совершенных чисел.

## Частые вопросы

### Что такое совершенное число?

Это натуральное число, равное сумме всех своих собственных делителей, кроме самого себя (например, 6 = 1 + 2 + 3 или 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14).

### Каково максимальное число n, поддерживаемое для проверки?

Инструмент обрабатывает целые числа n в диапазоне от 1 до 10¹² (один триллион).

### Что показывает индекс изобилия?

Индекс изобилия представляет собой отношение суммы всех делителей σ(n) к числу n. Для совершенных чисел он равен в точности 2.

### При каких условиях выводится полный список собственных делителей?

Список собственных делителей формируется при выборе режима «divisors» и только если их общее количество не превышает 200.

### Существуют ли нечётные совершенные числа?

На данный момент науке неизвестно ни одно нечётное совершенное число; все известные совершенные числа являются чётными.

## Связанные инструменты

- [Тьютор размерного анализа и сокращения единиц](https://elysiatools.com/ru/tools/dimensional-analysis-unit-cancellation-tutor): Разбирает перевод единиц в пошаговое сокращение factor-label: показывает отмену единиц в числителе/знаменателе, находит перевёрнутые коэффициенты и даёт учебную обратную связь при ошибках размерности и ответа.
- [Анализатор сетей PERT (ожидаемый срок/дисперсия)](https://elysiatools.com/ru/tools/pert-network-analyzer): Анализ PERT по трёхточечным оценкам для 2–20 работ (по одной на строку: название, оптимистичная a, наиболее вероятная m, пессимистичная b, предшественники): te = (a+4m+b)/6, σ² = ((b−a)/6)²; CPM на te даёт критический путь, ожидаемый срок TE и дисперсию проекта (сумма σ² по критическому пути); при целевом сроке T вычисляются Z = (T−TE)/σ и вероятность завершения Φ(Z) по нормальному приближению. Нарушения a≤m≤b и циклы отклоняются; детерминированные сети (σ≈0) обрабатываются без деления на ноль. Классика: A(2,4,6), B(3,5,7), C(2,3,10), D(4,6,8, B C) → TE = 15, σ² = 1.3333, P(T=16) ≈ 80.7%.
- [Проверитель Простых Чисел](https://elysiatools.com/ru/tools/prime-number-checker): Проверяет, является ли число простым (натуральное число больше 1, не имеющее положительных делителей, кроме 1 и самого себя)
- [Калькулятор многоканальной СМО M/M/c](https://elysiatools.com/ru/tools/queuing-theory-mmc): Вычисляет стационарные характеристики многоканальной СМО M/M/c (пуассоновский поток λ, c одинаковых экспоненциальных каналов с интенсивностью μ, общая очередь FCFS): выводятся нагрузка a = λ/μ, загрузка канала ρ, вероятность простоя P0, вероятность ожидания (Эрланг-C) Pw, средние Lq, L и времена W, Wq с перекрёстной проверкой по формуле Литтла и связи Pw→Lq. Требуется λ < cμ, иначе вход отклоняется как неустойчивый; при c = 1 формулы переходят в M/M/1. Классика: λ = 6/ч, μ = 3/ч, c = 3 → P0 = 0.1111, Pw = 0.4444, Lq = 0.8889, L = 2.8889.
- [Проверка простоты по теореме Вильсона](https://elysiatools.com/ru/tools/wilson-theorem-checker): Проверка простоты по теореме Вильсона: (n−1)! ≡ −1 (mod n) тогда и только тогда, когда n простое. Вычет (n−1)! mod n накапливается пошагово (n ≤ 10⁷), сверяется с детерминированным Миллером–Рабином, а для составных n проверяется факториальный закон (при n > 4 (n−1)! ≡ 0 (mod n), единственное исключение — n = 4). Может показать последовательность промежуточных произведений k! mod n (n ≤ 200).
- [Калькулятор Разложения на Простые Множители](https://elysiatools.com/ru/tools/prime-factorization): Разлагает любое целое число на простые множители с детальным анализом.
- [Проверка квадратичного вычета (символы Лежандра/Якоби)](https://elysiatools.com/ru/tools/quadratic-residue-checker): Вычисляет символ Якоби (a/n) (нечётное n до 10¹⁸; для простого n это символ Лежандра): по простому модулю a^((n−1)/2) ≡ 1 означает квадратичный вычет, а Tonelli–Shanks (или прямая формула при p ≡ 3 (mod 4)) даёт корни ±√a; символ −1 гарантирует, что a — невыт. По составному модулю символ лишь необходим: −1 доказывает невычет, +1 ничего не гарантирует (при n ≤ 10⁵ ответ находится перебором). Классика: 10 — квадратичный вычет mod 13 с корнями ±6.
- [Калькулятор тока трёхфазного КЗ (IEC 60909)](https://elysiatools.com/ru/tools/short-circuit-current-calculator): Оценка тока трёхфазного симметричного КЗ по IEC 60909 (удалённое): I"_k = c·U_n/(√3·|Z|), i_p = κ·√2·I"_k. Полное сопротивление = трансформатор + линия; κ = 1,02 + 0,98·e^(−3R/X).

## Примеры

- [Примеры Обработки Изображений Web Python](https://elysiatools.com/ru/samples/web-image-processing-python): Примеры обработки изображений Web Python используя PIL/Pillow включая чтение, сохранение, изменение размера и преобразование формата
- [Примеры Номеров НДС ЕС](https://elysiatools.com/ru/samples/eu-vat): Коллекция номеров НДС всех стран-участниц ЕС для тестирования валидации
- [Примеры Номеров Телефонов](https://elysiatools.com/ru/samples/global-phone): Коллекция номеров телефонов из различных стран для тестирования валидации
- [Примеры чисел и валют](https://elysiatools.com/ru/samples/number-currency-samples): Текст, содержащий различные форматы чисел и валют для тестирования извлечения валют