# Калькулятор разложения на простые дроби (рациональные функции)

Разлагает рациональную функцию F(x) = N(x)/D(x) на простые дроби (степень знаменателя ≤ 6, числителя ≤ 8; неправильные дроби сначала делятся уголком): корни знаменателя находятся методом Дюрана–Кернера и группируются по кратности и сопряжённым парам, точная линейная система по коэффициентам даёт слагаемые A/(x−r)^j и (Bx+C)/((x−α)²+β²), затем выполняется численная проверка невязки в алгебраических пробных точках. Классика: (3x+5)/(x²+3x+2) = 2/(x+1) + 1/(x+2); (x³+2x)/(x²+1) = x + x/(x²+1); 1/(x(x+1)²) = 1/x − 1/(x+1) − 1/(x+1)².

> Каноническая страница: https://elysiatools.com/ru/tools/partial-fraction-decomposer

- **Категория:** Math & Numbers

- **Ключевые слова:** простые дроби, разложение на простые дроби, рациональная функция, деление многочленов, комплексные корни, кратные корни, сопряжённые пары, алгебра, интегральное исчисление

## Обзор

Калькулятор разложения на простые дроби позволяет преобразовать рациональную функцию N(x)/D(x) в сумму простейших дробей с вещественными и комплексно-сопряжёнными корнями. Инструмент автоматически выполняет деление многочленов уголком для неправильных дробей, вычисляет корни знаменателя методом Дюрана–Кернера и формирует линейную систему для точного нахождения коэффициентов разложения.

## Входные данные

- **Коэффициенты числителя N(x) (свободный член первым)** (text): Comma-separated numerator coefficients, constant term first, degree ≤ 8, e.g. 5,3 → 3x + 5.
- **Коэффициенты знаменателя D(x) (свободный член первым)** (text): Comma-separated denominator coefficients, constant term first, degree 1–6, e.g. 2,3,1 → x² + 3x + 2.
- **Знаков после запятой** (number)

## Когда использовать

- Подготовка подынтегральных рациональных выражений к аналитическому интегрированию.
- Нахождение коэффициентов передаточных функций при обратном преобразовании Лапласа или Z-преобразовании.
- Проверка правильности ручного разложения алгебраических дробей с кратными или комплексными корнями.

## Как это работает

- Если степень числителя не меньше степени знаменателя, алгоритм делит многочлены уголком, выделяя целую часть Q(x) и остаток R(x).
- Корни знаменателя D(x) определяются численным методом Дюрана–Кернера и группируются по вещественным значениям, кратностям и сопряжённым комплексным парам.
- Формируется система линейных уравнений по степеням x для нахождения числителей слагаемых вида A/(x−r)^j и (Bx+C)/((x−α)²+β²).
- Выполняется контрольная подстановка пробных алгебраических точек для численной проверки невязки результата.

## Сценарии использования

- Студенты и преподаватели математического анализа, проверяющие аналитическое интегрирование рациональных дробей.
- Инженеры по теории управления и радиотехнике, вычисляющие отклики линейных систем через разложение передаточных характеристик.
- Разработчики численных алгоритмов, которым требуется быстрое получение аналитической структуры рационального оператора.

## Частые вопросы

### В каком порядке необходимо вводить коэффициенты многочленов?

Коэффициенты вводятся через запятую, начиная со свободного члена (степень x⁰) по возрастанию степеней до старшего члена.

### Какие ограничения по степеням полиномов поддерживает калькулятор?

Степень числителя N(x) может достигать 8, а степень знаменателя D(x) — от 1 до 6.

### Как обрабатываются неприводимые квадратные трёхчлены с комплексными корнями?

Комплексно-сопряжённые пары корней автоматически группируются в квадратичные слагаемые вида (Bx+C)/((x−α)²+β²).

### Что происходит, если дробь неправильная?

Инструмент предварительно выполняет деление уголком, выводя полиномиальную часть Q(x) и раскладывая оставшуюся правильную дробь R(x)/D(x).

### Зачем в результатах отображается проверка невязки?

Она подтверждает математическую эквивалентность исходной дроби и полученной суммы в контрольных точках.

## Связанные инструменты

- [Конвертер Дробей и Десятичных](https://elysiatools.com/ru/tools/fraction-decimal-converter): Преобразование между дробями и десятичными числами с поддержкой смешанных чисел, неправильных дробей и различных десятичных форматов
- [Калькулятор обратного преобразования Лапласа (простые дроби)](https://elysiatools.com/ru/tools/inverse-laplace-calculator): Вычисляет обратное преобразование Лапласа для F(s) = N(s)/D(s) (правильная дробь, степень знаменателя ≤ 6): находит корни знаменателя, группирует их по кратности и сопряжённым парам, решает линейную систему по коэффициентам многочленов для разложения на простые дроби и обращает каждое слагаемое по таблице (A/(s−r)→Ae^(rt), A/(s−r)^j→At^(j−1)e^(rt)/(j−1)!, (Bs+C)/((s−α)²+β²)→e^(αt)\[Bcos(βt)+…sin(βt)\]). Классика: 1/(s²+3s+2) → e^(−t)−e^(−2t); (3s+5)/(s²+4) → 3cos(2t)+2,5sin(2t).
- [Калькулятор преобразования Лапласа (таблица пар)](https://elysiatools.com/ru/tools/laplace-transform-calculator): Табличное преобразование Лапласа F(s) = ∫₀^∞ e^(−st)f(t)dt: 14 стандартных пар (1, t, tⁿ, e^(at), tⁿe^(at), sin/cos(kt) с экспоненциальным сдвигом, sinh/cosh, t·sin/t·cos, δ(t)), с подстановкой параметров, областью сходимости (например s > a), ходом вывода и необязательным численным вычислением в точке s (со проверкой сходимости). Пример: L{e^t} = 1/(s−1), s>1, F(2) = 1.
- [Решатель линейного ОДУ 2-го порядка (характеристическое уравнение)](https://elysiatools.com/ru/tools/second-order-ode-solver): Решает a·y'' + b·y' + c·y = f(x): находит корни характеристического уравнения ar² + br + c = 0, классифицирует однородное решение по дискриминанту (различные вещественные / кратный / комплексно-сопряжённые корни) и строит частное решение методом неопределённых коэффициентов с резонансом (если k — корень, пробная функция умножается на x^m). Поддерживаются постоянные, многочлены, A·e^(kx) и A·sin(kx)+B·cos(kx); при y(x₀) и y'(x₀) константы C1, C2 находятся из системы 2×2. Классика: y''−3y'+2y=0, y(0)=1, y'(0)=0 → y = −e^(2x)+2e^x.
- [Калькулятор Z-преобразования (дискретные системы)](https://elysiatools.com/ru/tools/z-transform-calculator): Табличное одностороннее Z-преобразование X(z) = Σₙ₌₀^∞ x\[n\]·z^(−n): 11 стандартных пар (δ\[n\], u\[n\], aⁿ, n, n², n·aⁿ, sin/cos(ω₀n), aⁿ·sin/aⁿ·cos, (−1)ⁿ), с подстановкой параметров, областью сходимости |z| > R, ходом вывода и необязательным численным вычислением в точке z (со проверкой сходимости). Пример: Z{0.5ⁿ} = z/(z−0.5), |z| > 0.5, X(2) = 4/3.
- [Калькулятор воздухообмена ACH (n = Q/V)](https://elysiatools.com/ru/tools/air-changes-per-hour): Вычисляет воздухообмен n=Q/V (1/ч) по расходу наружного воздуха Q и объёму V. Три режима: n (Q,V), расход (n,V) или объём (n,Q). Расход в м³/с/м³/ч/CFM, объём в м³/фт³/л. Даёт время достижения цели очистки (доля остатка, по умолчанию 1%) по модели полного смешения: t=−ln(ε)/n.
- [Калькулятор ресурса L10 подшипника качения](https://elysiatools.com/ru/tools/bearing-life-l10): Расчёт базового ресурса L10 = (C/P)^p подшипника качения. Шариковый p=3, роликовый p=10/3. При заданной скорости — L10h в часах.
- [Калькулятор момента и силы затяжки болта](https://elysiatools.com/ru/tools/bolt-torque-clamp-force): Перевод между моментом затяжки и осевой силой болта. T = K·F·d, K — коэффициент гайки (≈0.20 сухая сталь). Момент по силе или сила по моменту.

## Примеры

- [Примеры Netlify Edge Functions](https://elysiatools.com/ru/samples/netlify-edge-functions-samples): Комплексные примеры Netlify Edge Functions, включая middleware, аутентификацию, A/B тестирование, геолокацию и продвинутые паттерны edge computing
- [Примеры Обработки Изображений Web Python](https://elysiatools.com/ru/samples/web-image-processing-python): Примеры обработки изображений Web Python используя PIL/Pillow включая чтение, сохранение, изменение размера и преобразование формата
- [Примеры Azure Functions](https://elysiatools.com/ru/samples/azure-functions): Примеры Azure Functions бессерверных вычислений с HTTP-триггерами, таймерами и интеграциями
- [Примеры Обработки Изображений Android Java](https://elysiatools.com/ru/samples/android-image-processing-java): Примеры обработки изображений Android Java включая чтение/сохранение, масштабирование и преобразование формата

## Связанные материалы

- [Инструменты кодирования и конвертации аудио](https://elysiatools.com/ru/hubs/audio-convert): Сравните инструменты конвертации аудиоформатов, изменения битрейта, частоты дискретизации, смены кодека и экспорта в одном хабе.
- [Инструменты конвертации форматов изображений и анимированного экспорта](https://elysiatools.com/ru/hubs/image-convert): Сравните конвертеры JPG, PNG, GIF, AVIF, WebP, TIFF, ICO, base64 и инструменты экспорта анимированных изображений в одном хабе.
- [Инструменты JSON-обмена и перевода форматов](https://elysiatools.com/ru/hubs/json-convert): Сравните инструменты преобразования JSON для CSV, YAML, TOML, GraphQL, XML, Markdown, Excel, BSON, EDN и других структурированных форматов в одном хабе.
- [Инструменты перевода цветовых пространств для веба и печати](https://elysiatools.com/ru/hubs/design-convert): Подборка инструментов для перевода цветовых пространств между вебом и печатью в одном хабе.