# Интегрирование по формуле Симпсона (∫f(x)dx)

Вычисляет ∫ₐᵇ f(x)dx составной формулой Симпсона 1/3 (n чётное): S = h/3·(f(a) + 4Σнечёт. узлов + 2Σчёт. внутр. узлов + f(b)), погрешность O(h⁴), точна для многочленов степени ≤ 3. Таблица по узлам, оценка и необязательное сравнение с точным значением. Примеры: ∫₀¹x²dx при n=4 даёт 0,333333 (точно!); ∫₀¹e^(−x²)dx (нет элементарной первообразной) при n=10 даёт 0,746825.

> Каноническая страница: https://elysiatools.com/ru/tools/numerical-integration-simpson

- **Категория:** Math & Numbers

- **Ключевые слова:** формула симпсона, численное интегрирование, определённый интеграл, калькулятор интегралов, квадратура, численные методы, матанализ

## Обзор

Онлайн-калькулятор численного интегрирования по составной формуле Симпсона (правило 1/3) вычисляет определённый интеграл ∫ₐᵇ f(x)dx с порядком погрешности O(h⁴). Инструмент строит подробную таблицу узлов с весовыми коэффициентами, рассчитывает приближенное значение интеграла и при необходимости сравнивает его с аналитической первообразной для вычисления абсолютной ошибки.

## Входные данные

- **Подынтегральная f(x)** (text): Integrand in x (functions: sin, cos, exp, ln, sqrt, …).
- **Нижний предел a** (number): e.g. 0
- **Верхний предел b** (number): May be less than a (the integral flips sign, as in calculus).
- **Число подынтервалов n (чётное)** (number): Must be even. h = (b − a)/n; global error is O(h⁴) — halving h divides the error by ~16.
- **Точная первообразная F(x) (необязательно)** (text): Exact antiderivative in x; the tool reports F(b) − F(a) and the absolute error. Leave empty to skip.
- **Знаков после запятой** (number)

## Когда использовать

- Когда функция не имеет аналитической первообразной в элементарных функциях (например, e^(-x²)).
- При выполнении учебных заданий по численным методам и математическому анализу для пошаговой проверки расчётов.
- Для быстрого нахождения численного значения определённого интеграла с контролем шага разбиения и погрешности.

## Как это работает

- Задайте подынтегральное выражение f(x), пределы интегрирования a и b, а также чётное число подынтервалов n.
- Калькулятор определяет шаг сетки h = (b − a)/n и вычисляет значения функции f(xᵢ) в каждом узле разбиения.
- Применяется квадратурная формула Симпсона 1/3 с чередованием весов (1 на краях, 4 для нечётных и 2 для чётных внутренних узлов).
- Формируется итоговая оценка интеграла, а при указании первообразной F(x) выводится точное значение F(b) − F(a) и абсолютная погрешность.

## Сценарии использования

- Численное интегрирование неберущихся интегралов в инженерных и физических расчётах.
- Проверка лабораторных и практических работ по курсу численных методов.
- Анализ сходимости и уменьшения погрешности при увеличении числа узлов сетки.

## Частые вопросы

### Почему число разбиений n должно быть чётным?

Формула Симпсона 1/3 аппроксимирует функцию параболами по парам смежных отрезков, поэтому общее число подынтервалов n обязано делиться на 2.

### Какова точность метода Симпсона?

Метод имеет теоретический порядок погрешности O(h⁴) и даёт абсолютно точный результат для любых полиномов до 3-й степени включительно.

### Можно ли задать верхний предел b меньше нижнего предела a?

Да, при b < a шаг h становится отрицательным, и знак полученного интеграла меняется на противоположный согласно правилам математического анализа.

### Обязательно ли заполнять поле точной первообразной F(x)?

Нет, это поле необязательно; оно требуется только для автоматического расчёта аналитического значения и абсолютной погрешности.

### Какие математические функции поддерживаются при вводе f(x)?

Поддерживаются стандартные математические функции: sin, cos, exp, ln, sqrt, арифметические операции и возведение в степень.

## Связанные инструменты

- [Решатель ОДУ первого порядка (разделение переменных)](https://elysiatools.com/ru/tools/first-order-ode-solver): Решает dy/dx = g(x)·h(y) методом разделения переменных: разделяем, интегрируем почленно, получаем H(y) = G(x) + C и, если возможно, выражаем y = f(x). Поддерживаются одночленные h(y) (y, y^n, e^(ky), ky+m) и квадратичные многочлены, раскладываемые на простые дроби (например, логистическое y(1−y)); при начальном условии y(x₀)=y₀ вычисляется C и проверяется решение равновесия. Пример: dy/dx = 2x·y → y = e^(x²+C).
- [Калькулятор метода Ньютона-Рафсона](https://elysiatools.com/ru/tools/newton-raphson-root-finder): Решает f(x) = 0 итерацией Ньютона-Рафсона x_{k+1} = x_k − f(x_k)/f'(x_k): производную можно задать аналитически (если оставить пустым, используется центральная разность), выводятся таблица итераций (x_k и f(x_k)), критерий останова (|f| < допуск или |Δx| < допуск·max(1,|x|)), число итераций и итоговое |f(корень)|. Классика: x²−2 из x₀=1 сходится за 4 шага к √2 ≈ 1.4142135624; cos(x)−x сходится к числу Дотти 0.7390851332. Нулевая производная, расходящиеся шаги или превышение лимита итераций сообщаются явно.
- [Интегрирование методом трапеций (∫f(x)dx)](https://elysiatools.com/ru/tools/numerical-integration-trapezoid): Вычисляет ∫ₐᵇ f(x)dx составным методом трапеций: T = h/2·(f(a) + 2Σf(xᵢ) + f(b)), с таблицей по узлам, оценкой интеграла и необязательным сравнением с точным значением и абсолютной погрешностью; погрешность O(h²) (точен для линейных). Пример: ∫₀¹x²dx при n=4 даёт 0,34375 против точного 1/3, ошибка 0,010417.
- [Численный решатель Рунге—Кутты 4-го порядка (RK4)](https://elysiatools.com/ru/tools/runge-kutta-rk4-solver): Решает dy/dx = f(x,y), y(x₀)=y₀ классическим методом Рунге—Кутты 4-го порядка: на каждом шаге вычисляются четыре наклона k1–k4 и y_{n+1} = y_n + h/6·(k1+2k2+2k3+k4); глобальная погрешность O(h⁴) — при уменьшении шага вдвое ошибка падает примерно в 16 раз. Выводит пошаговую таблицу, значения k1–k4 первых шагов и конечную оценку; необязательное точное решение y(x) добавляет столбец ошибки. Пример: dy/dx = y, y(0)=1, h=0,1 → y(1) ≈ 2,718282, практически e.
- [Анализатор сходимости рядов (признаки Д'Аламбера/Коши/интегральный/сравнения)](https://elysiatools.com/ru/tools/series-convergence-tester): Анализирует сходимость ряда Σ aₙ (aₙ — выражение от n): последовательно применяются необходимый признак (aₙ → 0?), признак Д'Аламбера L = |aₙ₊₁/aₙ|, радикальный признак Коши ρ = |aₙ|^(1/n), сравнение с обобщённо-гармоническим рядом (p = −ln|a(N)|/ln N) и интегральный признак (численный Симпсон + сравнение роста по декадам); знакочередующиеся ряды распознаются автоматически и классифицируются признаком Лейбница, а для сходящихся оценивается сумма (частичная сумма + геометрическая или степенная хвостовая поправка). Классика: Σ1/n² сходится (p≈2, сумма≈1.6449); Σ1/n расходится (гармонический); Σ0.5ⁿ сходится; Σcos(πn)/n сходится условно (сумма≈−ln2).
- [Калькулятор интеграла свёртки (численный)](https://elysiatools.com/ru/tools/convolution-integral-calculator): Численно вычисляет свёртку двух сигналов (f*g)(t) = ∫ f(τ)g(t−τ)dτ: каузальный режим (оба сигнала нулевые при t<0, интеграл по \[max(τmin,0), min(τmax,t)\] — подходит для произведений в области Лапласа) и режим прямого окна (интеграл по всему \[τmin, τmax\] — подходит для двусторонних сигналов вроде гауссиан), составной метод Симпсона (по умолчанию 2000 интервалов). Классика: e^(−t)*e^(−2t) = e^(−t)−e^(−2t), при t=1 равно 0.2325; свёртка двух гауссиан — снова гауссиана √(π/2)·e^(−t²/2).
- [Численный решатель методом Эйлера (ОДУ первого порядка)](https://elysiatools.com/ru/tools/euler-method-solver): Решает задачу Коши dy/dx = f(x,y), y(x₀)=y₀ явным методом Эйлера: y_{n+1} = y_n + h·f(x_n, y_n), с пошаговой таблицей и конечной оценкой. Необязательное точное решение y(x) добавляет столбец ошибки, наглядно показывая глобальную погрешность O(h) метода первого порядка. Пример: dy/dx = y, y(0)=1, h=0,1 → y(1) ≈ 1,1¹⁰ = 2,593742 против e = 2,718282 (ошибка 0,124539).
- [Генератор PDF-плана тренировок](https://elysiatools.com/ru/tools/fitness-workout-pdf-generator): Создает печатный PDF-план тренировок из JSON или CSV с таблицами, ячейками прогресса и QR-кодами

## Примеры

- [Примеры Обработки Изображений Web Python](https://elysiatools.com/ru/samples/web-image-processing-python): Примеры обработки изображений Web Python используя PIL/Pillow включая чтение, сохранение, изменение размера и преобразование формата
- [Примеры Обработки Изображений Android Java](https://elysiatools.com/ru/samples/android-image-processing-java): Примеры обработки изображений Android Java включая чтение/сохранение, масштабирование и преобразование формата
- [Примеры Обработки Изображений Android Kotlin](https://elysiatools.com/ru/samples/android-image-processing-kotlin): Примеры обработки изображений Android Kotlin включая чтение/сохранение, масштабирование и преобразование формата
- [Примеры Обработки Изображений Web Rust](https://elysiatools.com/ru/samples/web-image-processing-rust): Примеры обработки изображений Web Rust включая чтение/запись, масштабирование и преобразование форматов

## Связанные материалы

- [Инструменты кодирования и конвертации аудио](https://elysiatools.com/ru/hubs/audio-convert): Сравните инструменты конвертации аудиоформатов, изменения битрейта, частоты дискретизации, смены кодека и экспорта в одном хабе.
- [Инструменты конвертации форматов изображений и анимированного экспорта](https://elysiatools.com/ru/hubs/image-convert): Сравните конвертеры JPG, PNG, GIF, AVIF, WebP, TIFF, ICO, base64 и инструменты экспорта анимированных изображений в одном хабе.
- [Инструменты JSON-обмена и перевода форматов](https://elysiatools.com/ru/hubs/json-convert): Сравните инструменты преобразования JSON для CSV, YAML, TOML, GraphQL, XML, Markdown, Excel, BSON, EDN и других структурированных форматов в одном хабе.
- [Инструменты перевода цветовых пространств для веба и печати](https://elysiatools.com/ru/hubs/design-convert): Подборка инструментов для перевода цветовых пространств между вебом и печатью в одном хабе.