# Калькулятор численного дифференцирования (прямые/обратные/центральные разности)

Приближает f′(x₀) тремя конечными разностями: прямой (f(x₀+h)−f(x₀))/h, обратной (f(x₀)−f(x₀−h))/h и центральной (f(x₀+h)−f(x₀−h))/(2h), плюс центральная вторая производная. Необязательная точная производная даёт абсолютную погрешность каждого метода и показывает контраст O(h) и O(h²). Пример: f=x², x₀=1, h=0,1 → прямая 2,1; обратная 1,9; центральная ровно 2,0.

> Каноническая страница: https://elysiatools.com/ru/tools/numerical-differentiation

- **Категория:** Math & Numbers

- **Ключевые слова:** численное дифференцирование, конечные разности, прямая разность, обратная разность, центральная разность, производная, численные методы, матанализ

## Обзор

Онлайн-калькулятор численного дифференцирования вычисляет приближенное значение производной f′(x₀) с помощью методов прямых, обратных и центральных конечных разностей, а также находит вторую производную. Инструмент позволяет наглядно сопоставить точность методов порядков O(h) и O(h²), рассчитывая абсолютную погрешность при указании точной производной функции.

## Входные данные

- **f(x)** (text): Function of x (functions: sin, cos, exp, ln, sqrt, …).
- **Точка x₀** (number): e.g. 1
- **Шаг h** (number): Difference step, 0 < h ≤ 1. Central differences: truncation O(h²); too small an h amplifies round-off.
- **Точная производная f′(x) (необязательно)** (text): Exact derivative in x; the tool reports the absolute error of each method. Leave empty to skip.
- **Знаков после запятой** (number)

## Когда использовать

- Для быстрого вычисления приближенных значений первой и второй производных заданной функции в точке x₀.
- При исследовании влияния шага дифференцирования h на точность и погрешность вычислений.
- Для сравнения точности односторонних разностей O(h) и центральной разности O(h²) в учебных или инженерных задачах.

## Как это работает

- Введите математическое выражение функции f(x), целевую точку x₀ и шаг h (от 0 до 1).
- При необходимости укажите точную аналитическую производную f′(x) и настройте количество знаков после запятой.
- Инструмент рассчитывает прямую (f(x₀+h)−f(x₀))/h, обратную (f(x₀)−f(x₀−h))/h и центральную (f(x₀+h)−f(x₀−h))/(2h) разности.
- Калькулятор формирует текстовый отчет со значениями всех разностей, оценкой второй производной и модулями абсолютных погрешностей.

## Сценарии использования

- Проверка лабораторных и расчетных работ по численным методам и математическому анализу.
- Оценка локального наклона (производной) и кривизны нелинейных функций в инженерных расчетах.
- Сравнение вычислительной погрешности алгоритмов численного дифференцирования при различных значениях шага h.

## Частые вопросы

### Какие формулы конечных разностей используются для первой производной?

Используются прямая разность (f(x₀+h)−f(x₀))/h, обратная разность (f(x₀)−f(x₀−h))/h и центральная разность (f(x₀+h)−f(x₀−h))/(2h).

### Почему центральная разность обычно точнее прямой и обратной?

Центральная разность имеет порядок погрешности усечения O(h²), тогда как односторонние разности — порядок O(h).

### Как рассчитывается вторая производная f″(x₀)?

Используется центральная разностная схема второго порядка: (f(x₀+h) - 2f(x₀) + f(x₀-h)) / h².

### Обязательно ли заполнять поле точной производной?

Нет, поле f′(x) необязательно; оно требуется только для автоматического вычисления абсолютной погрешности каждого метода.

### Какие функции поддерживаются в выражении f(x)?

Поддерживаются стандартные математические функции: степенные, тригонометрические (sin, cos), экспонента (exp), натуральный логарифм (ln), квадратный корень (sqrt) и базовые арифметические операции.

## Связанные инструменты

- [Калькулятор интеграла свёртки (численный)](https://elysiatools.com/ru/tools/convolution-integral-calculator): Численно вычисляет свёртку двух сигналов (f*g)(t) = ∫ f(τ)g(t−τ)dτ: каузальный режим (оба сигнала нулевые при t<0, интеграл по \[max(τmin,0), min(τmax,t)\] — подходит для произведений в области Лапласа) и режим прямого окна (интеграл по всему \[τmin, τmax\] — подходит для двусторонних сигналов вроде гауссиан), составной метод Симпсона (по умолчанию 2000 интервалов). Классика: e^(−t)*e^(−2t) = e^(−t)−e^(−2t), при t=1 равно 0.2325; свёртка двух гауссиан — снова гауссиана √(π/2)·e^(−t²/2).
- [Численный решатель методом Эйлера (ОДУ первого порядка)](https://elysiatools.com/ru/tools/euler-method-solver): Решает задачу Коши dy/dx = f(x,y), y(x₀)=y₀ явным методом Эйлера: y_{n+1} = y_n + h·f(x_n, y_n), с пошаговой таблицей и конечной оценкой. Необязательное точное решение y(x) добавляет столбец ошибки, наглядно показывая глобальную погрешность O(h) метода первого порядка. Пример: dy/dx = y, y(0)=1, h=0,1 → y(1) ≈ 1,1¹⁰ = 2,593742 против e = 2,718282 (ошибка 0,124539).
- [Калькулятор межквартильного размаха](https://elysiatools.com/ru/tools/interquartile-range-calculator): Вычисляет Q1, Q3, IQR и необязательные границы 1.5 x IQR
- [Калькулятор квартилей](https://elysiatools.com/ru/tools/quartile-calculator): Вычисляет Q1, медиану, Q3, межквартильный размах и необязательные границы выбросов
- [Решатель ОДУ первого порядка (разделение переменных)](https://elysiatools.com/ru/tools/first-order-ode-solver): Решает dy/dx = g(x)·h(y) методом разделения переменных: разделяем, интегрируем почленно, получаем H(y) = G(x) + C и, если возможно, выражаем y = f(x). Поддерживаются одночленные h(y) (y, y^n, e^(ky), ky+m) и квадратичные многочлены, раскладываемые на простые дроби (например, логистическое y(1−y)); при начальном условии y(x₀)=y₀ вычисляется C и проверяется решение равновесия. Пример: dy/dx = 2x·y → y = e^(x²+C).
- [Конструктор Симуляций Монте-Карло](https://elysiatools.com/ru/tools/monte-carlo-simulation-builder): Задайте входные распределения (нормальное/равномерное/логнормальное/треугольное), напишите формулу, выполните тысячи испытаний и получите гистограмму с доверительными интервалами.
- [Калькулятор метода Ньютона-Рафсона](https://elysiatools.com/ru/tools/newton-raphson-root-finder): Решает f(x) = 0 итерацией Ньютона-Рафсона x_{k+1} = x_k − f(x_k)/f'(x_k): производную можно задать аналитически (если оставить пустым, используется центральная разность), выводятся таблица итераций (x_k и f(x_k)), критерий останова (|f| < допуск или |Δx| < допуск·max(1,|x|)), число итераций и итоговое |f(корень)|. Классика: x²−2 из x₀=1 сходится за 4 шага к √2 ≈ 1.4142135624; cos(x)−x сходится к числу Дотти 0.7390851332. Нулевая производная, расходящиеся шаги или превышение лимита итераций сообщаются явно.
- [Интегрирование по формуле Симпсона (∫f(x)dx)](https://elysiatools.com/ru/tools/numerical-integration-simpson): Вычисляет ∫ₐᵇ f(x)dx составной формулой Симпсона 1/3 (n чётное): S = h/3·(f(a) + 4Σнечёт. узлов + 2Σчёт. внутр. узлов + f(b)), погрешность O(h⁴), точна для многочленов степени ≤ 3. Таблица по узлам, оценка и необязательное сравнение с точным значением. Примеры: ∫₀¹x²dx при n=4 даёт 0,333333 (точно!); ∫₀¹e^(−x²)dx (нет элементарной первообразной) при n=10 даёт 0,746825.

## Примеры

- [Примеры Обработки Изображений Android Java](https://elysiatools.com/ru/samples/android-image-processing-java): Примеры обработки изображений Android Java включая чтение/сохранение, масштабирование и преобразование формата
- [Примеры Обработки Изображений Android Kotlin](https://elysiatools.com/ru/samples/android-image-processing-kotlin): Примеры обработки изображений Android Kotlin включая чтение/сохранение, масштабирование и преобразование формата
- [Примеры Обработки Изображений Web Python](https://elysiatools.com/ru/samples/web-image-processing-python): Примеры обработки изображений Web Python используя PIL/Pillow включая чтение, сохранение, изменение размера и преобразование формата
- [Примеры Обработки Изображений Web Rust](https://elysiatools.com/ru/samples/web-image-processing-rust): Примеры обработки изображений Web Rust включая чтение/запись, масштабирование и преобразование форматов