# Калькулятор обратного по модулю (расширенный Евклид)

Вычисляет a⁻¹ mod m расширенным алгоритмом Евклида: выдаёт коэффициенты Безу a·x + m·y = gcd(a, m), полную таблицу прямых коэффициентов (каждая строка удовлетворяет r = a·s + m·t) и проверку a × a⁻¹ ≡ 1 (mod m). Принимает числа масштаба RSA (до 10⁵¹²); при gcd(a, m) ≠ 1 ясно сообщает, что обратного элемента нет. Классика: в RSA 17⁻¹ mod 3120 = 2753.

> Каноническая страница: https://elysiatools.com/ru/tools/modular-inverse-calculator

- **Категория:** Math & Numbers

- **Ключевые слова:** обратный по модулю, расширенный евклид, тождество безу, коэффициенты безу, rsa, модулярная арифметика, теория чисел

## Обзор

Онлайн-калькулятор находит обратный элемент по модулю (a⁻¹ mod m) с помощью расширенного алгоритма Евклида. Инструмент вычисляет коэффициенты Безу, формирует подробную пошаговую таблицу промежуточных остатков и выполняет математическую проверку, поддерживая как базовые числа, так и сверхбольшие значения масштаба RSA до 10⁵¹².

## Входные данные

- **Значение a** (text): The value to invert; negative values are reduced mod m first.
- **Модуль m** (text): Modulus, m ≥ 2. Inputs up to 10⁵¹² are accepted (RSA-sized).
- **Стиль вывода** (select)

## Когда использовать

- При вычислении закрытой экспоненты d в криптосистеме RSA по открытой экспоненте e и значению функции Эйлера φ(n).
- При решении линейных диофантовых уравнений, линейных сравнений и задач по теории чисел.
- При проектировании или расшифровке классических криптографических алгоритмов, таких как аффинный шифр.

## Как это работает

- Принимает исходное число a и модуль m (m ≥ 2), при необходимости выполняя предварительное приведение a по модулю m.
- Применяет расширенный алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя gcd(a, m) и коэффициентов тождества Безу a·x + m·y = gcd(a, m).
- Если gcd(a, m) = 1, приводит полученный коэффициент x к диапазону \[0, m − 1\], выводя итоговое значение a⁻¹ mod m и подставляя его в проверку a × a⁻¹ ≡ 1 (mod m).
- Если gcd(a, m) > 1, выводит сообщение о том, что числа не взаимно просты и мультипликативный обратный элемент не существует.

## Сценарии использования

- Генерация ключевых пар RSA в криптографии для нахождения секретной экспоненты d = e⁻¹ mod φ(n).
- Решение учебных и олимпиадных задач по модулярной арифметике с проверкой промежуточных выкладок Безу.
- Нахождение дешифрующего ключа для аффинных шифров и мультипликативных шифров замены.

## Частые вопросы

### Всегда ли существует обратный элемент по модулю?

Нет, обратный элемент a⁻¹ mod m существует тогда и только тогда, когда числа a и m взаимно просты, то есть их gcd(a, m) равен 1.

### Что показывает таблица шагов расширенного алгоритма Евклида?

Она отображает цепочку делений с остатком и линейные комбинации вида r = a·s + m·t для каждой итерации до получения единичного остатка.

### Поддерживает ли калькулятор отрицательные значения a?

Да, если параметр a отрицателен, калькулятор автоматически выполняет его приведение по модулю m перед вычислениями.

### Какой максимальный размер чисел можно ввести?

Инструмент поддерживает работу с длинной арифметикой и принимает большие числа вплоть до 10⁵¹², что соответствует ключам RSA.

### В чем разница между стилями вывода 'Результат и проверка' и 'Показать шаги'?

Первый вариант показывает только итоговый обратный элемент, тождество Безу и проверку, а второй дополнительно выводит полную таблицу шагов Евклида.

## Связанные инструменты

- [Упрощатель булевых выражений (карта Карно)](https://elysiatools.com/ru/tools/boolean-algebra-simplifier): Упрощает булевы функции до минимальной ДНФ: введите выражение (A–D, + ИЛИ, · И, ' НЕ, ≤ 4 переменных) или список минтермов Σm; алгоритм Куайна-Мак-Класки находит простые импликанты, берёт существенные и достраивает точное минимальное покрытие; выводятся минимальная ДНФ, карта Карно в коде Грея (2–4 переменных), каноническая форма Σm и проверка на всех наборах. Классика: AB + A'B → B; Σm(0,1,2,4,5,6) (3 переменные) → B' + C'.
- [Конвертер разведения (1:X ↔ 1/X ↔ %)](https://elysiatools.com/ru/tools/dilution-ratio-converter): Переводит между лабораторными формами записи разведения: пропорцией 1:X, дробью 1/X и процентами, а также рассчитывает фактор разведения и части растворённого вещества/разбавителя. Поддерживает оба соглашения 1:X (X — всего частей или 1 часть вещества + X частей разбавителя); при заданном конечном объёме выводит объёмы для смешивания. Классика: 1:5 = 1/5 = 20 %; на 100 мл — 20 мл концентрата + 80 мл разбавителя.
- [Расширенный алгоритм Евклида (ax + by = НОД(a, b))](https://elysiatools.com/ru/tools/extended-euclidean-algorithm): Решает тождество Безу a·x + b·y = НОД(a, b) для целых чисел любого знака: выдаёт полную таблицу шагов деления (каждая строка удовлетворяет r = a·s + b·t), НОД и НОК. С необязательной правой частью c превращается в решатель линейных диофантовых уравнений: при НОД | c даёт частное и общее решение x = x₀ + (b/g)t, иначе ясно сообщает об отсутствии целых решений. Классика: 240 × (−9) + 46 × 47 = 2.
- [Калькулятор модулярной арифметики (сложение / вычитание / умножение / обратное / степень)](https://elysiatools.com/ru/tools/modulo-arithmetic-converter): Выполняет сложение, вычитание, умножение, обращение и быстрое возведение в степень по модулю m на точной BigInt-арифметике (до 10¹⁸). Базовые операции показывают пошаговое приведение и дают канонического представителя из \[0, m−1\]; обратный элемент ищется расширенным алгоритмом Евклида, а при gcd(a, m) ≠ 1 сообщается об отсутствии; быстрое возведение показывает таблицу «возводи-и-умножай» по битам показателя. Примеры: 17⁵ mod 13 = 10; 5⁻¹ mod 18 = 11.
- [Генератор таблиц истинности](https://elysiatools.com/ru/tools/truth-table-generator): Строит полную таблицу истинности булева выражения (до 6 переменных, 64 строки): поддерживаются + ИЛИ, ^ XOR, ·/*/& или умножение И, !/~/' НЕ, скобки; переменные перечислены по алфавиту, каждая строка показывает набор и значение F, а также канонические формы Σm (минтермы) и ΠM (макстермы). Классика: AB + A'C имеет Σm(1,3,6,7); A ^ B ^ C — функция нечётности Σm(1,2,4,7).
- [Конвертер угловой скорости (rad/s / rpm / deg/s / Hz)](https://elysiatools.com/ru/tools/angular-velocity-converter): Пересчёт угловой скорости: рад/с (база СИ) ↔ об/мин (1=2π/60 рад/с) ↔ град/с (1=π/180 рад/с) ↔ Гц (1 оборот/с=2π рад/с). Гц здесь = оборот в секунду. Пересчёт через рад/с с четырьмя эквивалентами. Эталон: винил 33⅓ об/мин≈3,49 рад/с, холостой ход ~800 об/мин≈83,8 рад/с.
- [Калькулятор размера воздуховода (расход и скорость)](https://elysiatools.com/ru/tools/duct-size-calculator): Размер воздуховода по расходу Q и расчётной скорости v: площадь A=Q/v. Круглый: диаметр D=√(4A/π). Прямоугольный с соотношением r=a/b: b=√(A/r), a=r·b, эквивалентный диаметр ASHRAE D_экв=1,30·(a·b)^0,625/(a+b)^0,25. Расход в м³/с/м³/ч/CFM; результат в мм и дюймах.
- [Калькулятор предела выносливости (Гудмен/Гербер/Содерберг)](https://elysiatools.com/ru/tools/fatigue-limit-calculator): Коэффициент запаса по выносливости с поправкой на среднее напряжение. По σ_a, σ_m и σ_uts, σ_-1, σ_y — три классических критерия: модифицированный Гудмен (линейный, консервативный), Гербер (параболический, ближе к данным для вязких материалов), Содерберг (через σ_y, самый консервативный). Управляющий — минимум; показано, лежит ли точка внутри линии Гудмена.

## Примеры

- [Примеры Обработки Изображений Web Python](https://elysiatools.com/ru/samples/web-image-processing-python): Примеры обработки изображений Web Python используя PIL/Pillow включая чтение, сохранение, изменение размера и преобразование формата
- [Примеры Обработки Изображений Android Java](https://elysiatools.com/ru/samples/android-image-processing-java): Примеры обработки изображений Android Java включая чтение/сохранение, масштабирование и преобразование формата
- [Примеры Обработки Изображений Android Kotlin](https://elysiatools.com/ru/samples/android-image-processing-kotlin): Примеры обработки изображений Android Kotlin включая чтение/сохранение, масштабирование и преобразование формата
- [Примеры Обработки Изображений Web Rust](https://elysiatools.com/ru/samples/web-image-processing-rust): Примеры обработки изображений Web Rust включая чтение/запись, масштабирование и преобразование форматов