# Решатель матричных игр с нулевой суммой (седловая точка / линейное программирование)

Решает матричные игры 2–6 × 2–6 с нулевой суммой (платёжная матрица принадлежит игроку-строке — максимизирующему; игрок-столбец платит): сначала проверка седловой точки (если максимин минимумов строк равен минимаксу максимумов столбцов, существует равновесие в чистых стратегиях и перечисляются все седловые клетки); иначе матрица сдвигается так, чтобы все элементы были ≥ 1, и однофазным симплексом (базис из остаточных переменных, правило Бланда) решается max Σz при Bz ≤ 1: прямой ответ даёт смешанную стратегию q игрока-столбца, а двойственные теневые цены — в точности решение y игрока-строки; значение сдвигается обратно, выводятся x, q, v с численной проверкой гарантий (xᵀA ≥ v, Aq ≤ v) и равенства минимакса. Классика: «орлянка» [[1,-1],[-1,1]] → значение 0, обе стороны смешивают 0.5/0.5.

> Каноническая страница: https://elysiatools.com/ru/tools/game-theory-zero-sum

- **Категория:** Math & Numbers

- **Ключевые слова:** теория игр, игра с нулевой суммой, седловая точка, смешанная стратегия, минимакс, равновесие нэша, линейное программирование, теневая цена, платёжная матрица, исследование операций

## Обзор

Онлайн-решатель матричных игр с нулевой суммой находит равновесия Нэша в чистых или смешанных стратегиях для платежных матриц размером от 2×2 до 6×6. Инструмент автоматически проверяет наличие седловой точки по критерию максимина и минимакса, а при её отсутствии выполняет сдвиг значений и решает задачу линейного программирования симплекс-методом с правилом Бланда, рассчитывая оптимальные вероятности ходов для обоих игроков и цену игры.

## Входные данные

- **Матрица платежей (выигрыш игрока-строки, по одной на строку)** (textarea): Payoffs to the row player (positive = row wins). 2–6 rows × 2–6 columns; the column player minimizes.
- **Знаков после запятой** (number)

## Когда использовать

- Для поиска седловой точки и проверки существования равновесия в чистых стратегиях.
- Для расчета оптимальных смешанных стратегий методом линейного программирования при отсутствии седловой точки.
- Для определения цены матричной игры (v) и проверки гарантий выигрыша для максимизирующего и минимизирующего игроков.

## Как это работает

- Вычисляет минимумы по строкам и максимумы по столбцам матрицы для нахождения максимина и минимакса.
- При равенстве максимина и минимакса определяет седловую точку и выводит координаты чистых стратегий равновесия.
- При отсутствии седловой точки сдвигает элементы матрицы для обеспечения положительности и решает прямую и двойственную задачи ЛП симплекс-методом.
- Возвращает вектор вероятностей x для игрока-строки, вектор q для игрока-столбца, цену игры v и выполняет численную проверку условий безопасности.

## Сценарии использования

- Решение учебных и исследовательских задач по теории игр и исследованию операций.
- Анализ конкурентных моделей и дуополий с антагонистическими интересами сторон.
- Оптимизация распределения ресурсов и выбора защитных стратегий в условиях противодействия.

## Частые вопросы

### Какой формат ввода матрицы платежей поддерживается?

Матрица вводится построчно, элементы разделяются запятыми или пробелами, поддерживаются размеры от 2×2 до 6×6.

### Чьи выигрыши представлены в платежной матрице?

Значения матрицы показывают выигрыш игрока-строки (максимизатора), который одновременно является проигрышем игрока-столбца.

### Что происходит при наличии нескольких седловых точек?

Инструмент находит и выводит координаты всех ячеек, являющихся седловыми точками с одинаковой ценой игры.

### Как рассчитываются смешанные стратегии при отсутствии седловой точки?

С помощью симплекс-метода решается задача линейного программирования с правилом Бланда, где решение дает стратегию одного игрока, а теневые цены — другого.

### Можно ли настроить точность вычислений?

Да, параметр количества знаков после запятой настраивается в диапазоне от 0 до 8.

## Связанные инструменты

- [Генератор перестановок / сочетаний / подмножеств (с повторами)](https://elysiatools.com/ru/tools/combinatorial-generation): Генерирует перестановки, сочетания и подмножества мультимножества с автодедупликацией в лексикографическом порядке: перестановки — методом next_permutation с точным счётом n!/Π(mᵢ!); сочетания — все различные k-подмультимножества, счёт — коэффициент при x^k в Π(1+x+…+x^mᵢ) (C(n,k), если все элементы различны); подмножества — все подмультимножества со счётом Π(mᵢ+1) (2ⁿ, если различны), включая пустое. До 12 элементов, показ ограничен 200 записями, но счёт всегда точен; для сочетаний требуется 1 ≤ k ≤ n. Классика: перестановки \[A, A, B\] → 3!/2! = 3 (AAB, ABA, BAA); подмножества \[A, A, B\] → (2+1)(1+1) = 6.
- [Калькулятор обратного преобразования Лапласа (простые дроби)](https://elysiatools.com/ru/tools/inverse-laplace-calculator): Вычисляет обратное преобразование Лапласа для F(s) = N(s)/D(s) (правильная дробь, степень знаменателя ≤ 6): находит корни знаменателя, группирует их по кратности и сопряжённым парам, решает линейную систему по коэффициентам многочленов для разложения на простые дроби и обращает каждое слагаемое по таблице (A/(s−r)→Ae^(rt), A/(s−r)^j→At^(j−1)e^(rt)/(j−1)!, (Bs+C)/((s−α)²+β²)→e^(αt)\[Bcos(βt)+…sin(βt)\]). Классика: 1/(s²+3s+2) → e^(−t)−e^(−2t); (3s+5)/(s²+4) → 3cos(2t)+2,5sin(2t).
- [Калькулятор преобразования Лапласа (таблица пар)](https://elysiatools.com/ru/tools/laplace-transform-calculator): Табличное преобразование Лапласа F(s) = ∫₀^∞ e^(−st)f(t)dt: 14 стандартных пар (1, t, tⁿ, e^(at), tⁿe^(at), sin/cos(kt) с экспоненциальным сдвигом, sinh/cosh, t·sin/t·cos, δ(t)), с подстановкой параметров, областью сходимости (например s > a), ходом вывода и необязательным численным вычислением в точке s (со проверкой сходимости). Пример: L{e^t} = 1/(s−1), s>1, F(2) = 1.
- [Калькулятор разложения на простые дроби (рациональные функции)](https://elysiatools.com/ru/tools/partial-fraction-decomposer): Разлагает рациональную функцию F(x) = N(x)/D(x) на простые дроби (степень знаменателя ≤ 6, числителя ≤ 8; неправильные дроби сначала делятся уголком): корни знаменателя находятся методом Дюрана–Кернера и группируются по кратности и сопряжённым парам, точная линейная система по коэффициентам даёт слагаемые A/(x−r)^j и (Bx+C)/((x−α)²+β²), затем выполняется численная проверка невязки в алгебраических пробных точках. Классика: (3x+5)/(x²+3x+2) = 2/(x+1) + 1/(x+2); (x³+2x)/(x²+1) = x + x/(x²+1); 1/(x(x+1)²) = 1/x − 1/(x+1) − 1/(x+1)².
- [Анализатор сетей PERT (ожидаемый срок/дисперсия)](https://elysiatools.com/ru/tools/pert-network-analyzer): Анализ PERT по трёхточечным оценкам для 2–20 работ (по одной на строку: название, оптимистичная a, наиболее вероятная m, пессимистичная b, предшественники): te = (a+4m+b)/6, σ² = ((b−a)/6)²; CPM на te даёт критический путь, ожидаемый срок TE и дисперсию проекта (сумма σ² по критическому пути); при целевом сроке T вычисляются Z = (T−TE)/σ и вероятность завершения Φ(Z) по нормальному приближению. Нарушения a≤m≤b и циклы отклоняются; детерминированные сети (σ≈0) обрабатываются без деления на ноль. Классика: A(2,4,6), B(3,5,7), C(2,3,10), D(4,6,8, B C) → TE = 15, σ² = 1.3333, P(T=16) ≈ 80.7%.
- [Калькулятор многоканальной СМО M/M/c](https://elysiatools.com/ru/tools/queuing-theory-mmc): Вычисляет стационарные характеристики многоканальной СМО M/M/c (пуассоновский поток λ, c одинаковых экспоненциальных каналов с интенсивностью μ, общая очередь FCFS): выводятся нагрузка a = λ/μ, загрузка канала ρ, вероятность простоя P0, вероятность ожидания (Эрланг-C) Pw, средние Lq, L и времена W, Wq с перекрёстной проверкой по формуле Литтла и связи Pw→Lq. Требуется λ < cμ, иначе вход отклоняется как неустойчивый; при c = 1 формулы переходят в M/M/1. Классика: λ = 6/ч, μ = 3/ч, c = 3 → P0 = 0.1111, Pw = 0.4444, Lq = 0.8889, L = 2.8889.
- [Решатель линейного ОДУ 2-го порядка (характеристическое уравнение)](https://elysiatools.com/ru/tools/second-order-ode-solver): Решает a·y'' + b·y' + c·y = f(x): находит корни характеристического уравнения ar² + br + c = 0, классифицирует однородное решение по дискриминанту (различные вещественные / кратный / комплексно-сопряжённые корни) и строит частное решение методом неопределённых коэффициентов с резонансом (если k — корень, пробная функция умножается на x^m). Поддерживаются постоянные, многочлены, A·e^(kx) и A·sin(kx)+B·cos(kx); при y(x₀) и y'(x₀) константы C1, C2 находятся из системы 2×2. Классика: y''−3y'+2y=0, y(0)=1, y'(0)=0 → y = −e^(2x)+2e^x.
- [Калькулятор Z-преобразования (дискретные системы)](https://elysiatools.com/ru/tools/z-transform-calculator): Табличное одностороннее Z-преобразование X(z) = Σₙ₌₀^∞ x\[n\]·z^(−n): 11 стандартных пар (δ\[n\], u\[n\], aⁿ, n, n², n·aⁿ, sin/cos(ω₀n), aⁿ·sin/aⁿ·cos, (−1)ⁿ), с подстановкой параметров, областью сходимости |z| > R, ходом вывода и необязательным численным вычислением в точке z (со проверкой сходимости). Пример: Z{0.5ⁿ} = z/(z−0.5), |z| > 0.5, X(2) = 4/3.

## Примеры

- [Примеры Bevy Game Engine](https://elysiatools.com/ru/samples/bevy-samples): Примеры игрового движка Bevy Rust с ECS, 2D/3D графикой, аудио и игровой механикой
- [Примеры Обработки Изображений Web Python](https://elysiatools.com/ru/samples/web-image-processing-python): Примеры обработки изображений Web Python используя PIL/Pillow включая чтение, сохранение, изменение размера и преобразование формата
- [Примеры Архитектуры Нулевого Доверия](https://elysiatools.com/ru/samples/zero-trust-samples): Комплексные примеры архитектуры Нулевого Доверия с аутентификацией, сегментацией сети и контроля доступа
- [Примеры Обработки Изображений Android Java](https://elysiatools.com/ru/samples/android-image-processing-java): Примеры обработки изображений Android Java включая чтение/сохранение, масштабирование и преобразование формата

## Связанные материалы

- [Инструменты кодирования и конвертации аудио](https://elysiatools.com/ru/hubs/audio-convert): Сравните инструменты конвертации аудиоформатов, изменения битрейта, частоты дискретизации, смены кодека и экспорта в одном хабе.
- [Инструменты конвертации форматов изображений и анимированного экспорта](https://elysiatools.com/ru/hubs/image-convert): Сравните конвертеры JPG, PNG, GIF, AVIF, WebP, TIFF, ICO, base64 и инструменты экспорта анимированных изображений в одном хабе.
- [Инструменты JSON-обмена и перевода форматов](https://elysiatools.com/ru/hubs/json-convert): Сравните инструменты преобразования JSON для CSV, YAML, TOML, GraphQL, XML, Markdown, Excel, BSON, EDN и других структурированных форматов в одном хабе.
- [Инструменты перевода цветовых пространств для веба и печати](https://elysiatools.com/ru/hubs/design-convert): Подборка инструментов для перевода цветовых пространств между вебом и печатью в одном хабе.