# Решатель ОДУ первого порядка (разделение переменных)

Решает dy/dx = g(x)·h(y) методом разделения переменных: разделяем, интегрируем почленно, получаем H(y) = G(x) + C и, если возможно, выражаем y = f(x). Поддерживаются одночленные h(y) (y, y^n, e^(ky), ky+m) и квадратичные многочлены, раскладываемые на простые дроби (например, логистическое y(1−y)); при начальном условии y(x₀)=y₀ вычисляется C и проверяется решение равновесия. Пример: dy/dx = 2x·y → y = e^(x²+C).

> Каноническая страница: https://elysiatools.com/ru/tools/first-order-ode-solver

- **Категория:** Math & Numbers

- **Ключевые слова:** оду первого порядка, дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, разделение переменных, задача коши, простые дроби, логистическое уравнение, неявное решение, математический анализ, символьное интегрирование

## Обзор

Решатель ОДУ первого порядка предназначен для аналитического решения дифференциальных уравнений вида dy/dx = g(x)·h(y) методом разделения переменных. Инструмент выполняет символьное интегрирование обеих частей уравнения, строит явные или неявные решения и рассчитывает константу интегрирования C для задач Коши с заданными начальными условиями.

## Входные данные

- **g(x) — множитель при x** (text): x-dependent factor of dy/dx = g(x)·h(y). Terms: constants, x^n, (kx+m)^n, e^(kx), sin(kx+m), cos(kx+m), ln(kx+m), sqrt(kx+m).
- **h(y) — множитель при y** (text): y-dependent factor. Single terms (y, y^n, (ky+m)^n, e^(ky)) or a degree ≤ 2 polynomial with real roots, or c/D(y).
- **x₀ (начальный x)** (number): Only used together with y₀ to pin down the constant C.
- **y₀ = y(x₀)** (number): Initial value. Leave empty for the general solution; provide with x₀ for the particular solution.

## Когда использовать

- Для поиска общего или частного аналитического решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными вида dy/dx = g(x)·h(y).
- При решении задачи Коши с начальными условиями x₀ и y₀ для точного определения константы интегрирования C.
- Для пошаговой проверки интегрирования выражений, требующих разложения рациональных дробей 1/h(y) на простые слагаемые.

## Как это работает

- Введите функцию g(x) и функцию h(y), определяющие правую часть уравнения dy/dx = g(x)·h(y).
- При необходимости решения задачи Коши укажите начальные значения x₀ и y₀.
- Сервис разделяет переменные в виде (1/h(y)) dy = g(x) dx и вычисляет первообразные H(y) и G(x).
- Формируется итоговое соотношение H(y) = G(x) + C с явным выражением y = f(x) (если возможно) или неявным результатом.

## Сценарии использования

- Решение и проверка расчетных заданий по высшей математике и дифференциальным уравнениям.
- Моделирование физических процессов радиоактивного распада, охлаждения тел и экспоненциального роста.
- Анализ уравнений популяционной динамики и логистических моделей вида dy/dx = g(x)·y(1−y).

## Частые вопросы

### Какие типы функций h(y) поддерживает решатель?

Поддерживаются одночлены (y, y^n, e^(ky), ky+m), а также многочлены степени ≤ 2 с вещественными корнями, разложимые на простые дроби.

### Что выдает инструмент, если y нельзя выразить явно?

Если обратная функция не выражается в элементарном виде, решатель возвращает точное неявное решение H(y) = G(x) + C.

### Обязательно ли указывать начальные значения x₀ и y₀?

Нет, без начальных условий инструмент находит общее решение уравнения с произвольной постоянной C.

### Как решатель определяет стационарные решения?

Корни уравнения h(y) = 0 проверяются как постоянные равновесные решения исходного дифференциального уравнения.

### Какие функции аргумента x можно вводить в поле g(x)?

Допускаются многочлены x^n, линейные формы (kx+m)^n, экспоненты e^(kx), функции sin, cos, ln и квадратные корни.

## Связанные инструменты

- [Калькулятор метода Ньютона-Рафсона](https://elysiatools.com/ru/tools/newton-raphson-root-finder): Решает f(x) = 0 итерацией Ньютона-Рафсона x_{k+1} = x_k − f(x_k)/f'(x_k): производную можно задать аналитически (если оставить пустым, используется центральная разность), выводятся таблица итераций (x_k и f(x_k)), критерий останова (|f| < допуск или |Δx| < допуск·max(1,|x|)), число итераций и итоговое |f(корень)|. Классика: x²−2 из x₀=1 сходится за 4 шага к √2 ≈ 1.4142135624; cos(x)−x сходится к числу Дотти 0.7390851332. Нулевая производная, расходящиеся шаги или превышение лимита итераций сообщаются явно.
- [Интегрирование по формуле Симпсона (∫f(x)dx)](https://elysiatools.com/ru/tools/numerical-integration-simpson): Вычисляет ∫ₐᵇ f(x)dx составной формулой Симпсона 1/3 (n чётное): S = h/3·(f(a) + 4Σнечёт. узлов + 2Σчёт. внутр. узлов + f(b)), погрешность O(h⁴), точна для многочленов степени ≤ 3. Таблица по узлам, оценка и необязательное сравнение с точным значением. Примеры: ∫₀¹x²dx при n=4 даёт 0,333333 (точно!); ∫₀¹e^(−x²)dx (нет элементарной первообразной) при n=10 даёт 0,746825.
- [Интегрирование методом трапеций (∫f(x)dx)](https://elysiatools.com/ru/tools/numerical-integration-trapezoid): Вычисляет ∫ₐᵇ f(x)dx составным методом трапеций: T = h/2·(f(a) + 2Σf(xᵢ) + f(b)), с таблицей по узлам, оценкой интеграла и необязательным сравнением с точным значением и абсолютной погрешностью; погрешность O(h²) (точен для линейных). Пример: ∫₀¹x²dx при n=4 даёт 0,34375 против точного 1/3, ошибка 0,010417.
- [Численный решатель Рунге—Кутты 4-го порядка (RK4)](https://elysiatools.com/ru/tools/runge-kutta-rk4-solver): Решает dy/dx = f(x,y), y(x₀)=y₀ классическим методом Рунге—Кутты 4-го порядка: на каждом шаге вычисляются четыре наклона k1–k4 и y_{n+1} = y_n + h/6·(k1+2k2+2k3+k4); глобальная погрешность O(h⁴) — при уменьшении шага вдвое ошибка падает примерно в 16 раз. Выводит пошаговую таблицу, значения k1–k4 первых шагов и конечную оценку; необязательное точное решение y(x) добавляет столбец ошибки. Пример: dy/dx = y, y(0)=1, h=0,1 → y(1) ≈ 2,718282, практически e.
- [Анализатор сходимости рядов (признаки Д'Аламбера/Коши/интегральный/сравнения)](https://elysiatools.com/ru/tools/series-convergence-tester): Анализирует сходимость ряда Σ aₙ (aₙ — выражение от n): последовательно применяются необходимый признак (aₙ → 0?), признак Д'Аламбера L = |aₙ₊₁/aₙ|, радикальный признак Коши ρ = |aₙ|^(1/n), сравнение с обобщённо-гармоническим рядом (p = −ln|a(N)|/ln N) и интегральный признак (численный Симпсон + сравнение роста по декадам); знакочередующиеся ряды распознаются автоматически и классифицируются признаком Лейбница, а для сходящихся оценивается сумма (частичная сумма + геометрическая или степенная хвостовая поправка). Классика: Σ1/n² сходится (p≈2, сумма≈1.6449); Σ1/n расходится (гармонический); Σ0.5ⁿ сходится; Σcos(πn)/n сходится условно (сумма≈−ln2).
- [Конструктор короткой ссылки + UTM + QR](https://elysiatools.com/ru/tools/short-url-utm-builder-qr-bundle): Один проход вместо тройки bit.ly + Campaign Builder + QR-генератора: вводите целевую страницу и UTM-параметры (обязательная тройка GA4 проверяется, опционально — нижний регистр), получаете полную трекинг-ссылку; детерминированный base62-slug (хэш FNV-1a: одинаковый вход → одинаковый slug, без сети и аккаунтов) на вашем коротком домене; два QR-кода PNG (короткая и полная ссылки); плюс конфиги редиректов nginx / vercel.json / Netlify и CSV-строку для таблицы кампаний.
- [Анализатор Асимметрии](https://elysiatools.com/ru/tools/skewness-analyzer): Анализировать асимметрию данных для измерения асимметрии распределения вероятностей и выявления паттернов данных
- [Калькулятор квадратного корня](https://elysiatools.com/ru/tools/square-root-calculator): Вычисляет квадратные корни, проверяет число на полный квадрат и подтверждает результат обратным возведением в квадрат

## Примеры

- [Примеры Обработки Изображений Web Python](https://elysiatools.com/ru/samples/web-image-processing-python): Примеры обработки изображений Web Python используя PIL/Pillow включая чтение, сохранение, изменение размера и преобразование формата
- [Примеры Переменных Среды (.env)](https://elysiatools.com/ru/samples/env-samples): Примеры конфигурации переменных среды для различных типов приложений и сред
- [Примеры Обработки Изображений Android Java](https://elysiatools.com/ru/samples/android-image-processing-java): Примеры обработки изображений Android Java включая чтение/сохранение, масштабирование и преобразование формата
- [Примеры Обработки Изображений Android Kotlin](https://elysiatools.com/ru/samples/android-image-processing-kotlin): Примеры обработки изображений Android Kotlin включая чтение/сохранение, масштабирование и преобразование формата

## Связанные материалы

- [Инструменты кодирования и конвертации аудио](https://elysiatools.com/ru/hubs/audio-convert): Сравните инструменты конвертации аудиоформатов, изменения битрейта, частоты дискретизации, смены кодека и экспорта в одном хабе.
- [Инструменты конвертации форматов изображений и анимированного экспорта](https://elysiatools.com/ru/hubs/image-convert): Сравните конвертеры JPG, PNG, GIF, AVIF, WebP, TIFF, ICO, base64 и инструменты экспорта анимированных изображений в одном хабе.
- [Инструменты JSON-обмена и перевода форматов](https://elysiatools.com/ru/hubs/json-convert): Сравните инструменты преобразования JSON для CSV, YAML, TOML, GraphQL, XML, Markdown, Excel, BSON, EDN и других структурированных форматов в одном хабе.
- [Инструменты перевода цветовых пространств для веба и печати](https://elysiatools.com/ru/hubs/design-convert): Подборка инструментов для перевода цветовых пространств между вебом и печатью в одном хабе.