# Численный решатель методом Эйлера (ОДУ первого порядка)

Решает задачу Коши dy/dx = f(x,y), y(x₀)=y₀ явным методом Эйлера: y_{n+1} = y_n + h·f(x_n, y_n), с пошаговой таблицей и конечной оценкой. Необязательное точное решение y(x) добавляет столбец ошибки, наглядно показывая глобальную погрешность O(h) метода первого порядка. Пример: dy/dx = y, y(0)=1, h=0,1 → y(1) ≈ 1,1¹⁰ = 2,593742 против e = 2,718282 (ошибка 0,124539).

> Каноническая страница: https://elysiatools.com/ru/tools/euler-method-solver

- **Категория:** Math & Numbers

- **Ключевые слова:** метод эйлера, явный эйлер, оду численно, численное интегрирование, задача коши, шаг, метод первого порядка, приближение, матанализ

## Обзор

Численный решатель методом Эйлера выполняет интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого порядка вида dy/dx = f(x, y) для заданной задачи Коши. Инструмент строит пошаговую таблицу приближений, вычисляет конечное значение функции в целевой точке и позволяет сопоставить результат с аналитическим решением для оценки локальной и глобальной погрешности.

## Входные данные

- **f(x, y) из dy/dx = f(x, y)** (text): Right-hand side in terms of x and y (functions: sin, cos, exp, ln, sqrt, …). Write products with *, e.g. x*y.
- **x₀ (начальный x)** (number): e.g. 0
- **y₀ = y(x₀)** (number): e.g. 1
- **целевой x** (number): Must be greater than x₀.
- **Число шагов n** (number): h = (target x − x₀)/n. More steps → smaller error, O(h) globally.
- **Точное решение y(x) (необязательно)** (text): Exact solution in x, used to add an error column. Leave empty to skip.
- **Знаков после запятой** (number)

## Когда использовать

- Когда необходимо найти приближенное численное решение задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка.
- При выполнении учебных заданий по численным методам и математическому анализу для проверки ручных расчетов.
- Когда требуется наглядно оценить накопление погрешности метода первого порядка при изменении шага сетки h.

## Как это работает

- Задайте функцию правой части f(x, y), начальные условия (x₀, y₀) и целевую точку x.
- Укажите число шагов n, на основе которого инструмент рассчитает шаг сетки h = (x_целевой − x₀) / n.
- Опционально введите аналитическую функцию y(x) для расчета точного значения и ошибки на каждом шаге.
- Получите детализированную таблицу итераций y_{n+1} = y_n + h·f(x_n, y_n) и итоговое приближенное значение.

## Сценарии использования

- Пошаговая проверка лабораторных и практических работ по численным методам.
- Моделирование динамики простых систем, описываемых нелинейными ОДУ без аналитического решения.
- Демонстрация влияния величины шага h на точность интегрирования в учебных курсах.

## Частые вопросы

### Как метод Эйлера находит следующее значение y?

Он использует формулу явного шага y_{n+1} = y_n + h·f(x_n, y_n), где h — шаг интегрирования, а f(x_n, y_n) — тангенс угла наклона.

### Каков порядок сходимости явного метода Эйлера?

Метод Эйлера является методом первого порядка: его глобальная погрешность пропорциональна величине шага O(h).

### Обязательно ли указывать точное решение y(x)?

Нет, это поле необязательно. Если его заполнить, решатель добавит столбец абсолютной погрешности для каждого шага.

### Как повысить точность численного приближения?

Увеличьте число шагов n, что уменьшит шаг h и снизит накапливаемую погрешность вычислений.

### Какие функции можно использовать в выражении f(x, y)?

Поддерживаются базовые операции (*, /, +, -) и стандартные математические функции: sin, cos, exp, ln, sqrt и другие.

## Связанные инструменты

- [Калькулятор интеграла свёртки (численный)](https://elysiatools.com/ru/tools/convolution-integral-calculator): Численно вычисляет свёртку двух сигналов (f*g)(t) = ∫ f(τ)g(t−τ)dτ: каузальный режим (оба сигнала нулевые при t<0, интеграл по \[max(τmin,0), min(τmax,t)\] — подходит для произведений в области Лапласа) и режим прямого окна (интеграл по всему \[τmin, τmax\] — подходит для двусторонних сигналов вроде гауссиан), составной метод Симпсона (по умолчанию 2000 интервалов). Классика: e^(−t)*e^(−2t) = e^(−t)−e^(−2t), при t=1 равно 0.2325; свёртка двух гауссиан — снова гауссиана √(π/2)·e^(−t²/2).
- [Калькулятор численного дифференцирования (прямые/обратные/центральные разности)](https://elysiatools.com/ru/tools/numerical-differentiation): Приближает f′(x₀) тремя конечными разностями: прямой (f(x₀+h)−f(x₀))/h, обратной (f(x₀)−f(x₀−h))/h и центральной (f(x₀+h)−f(x₀−h))/(2h), плюс центральная вторая производная. Необязательная точная производная даёт абсолютную погрешность каждого метода и показывает контраст O(h) и O(h²). Пример: f=x², x₀=1, h=0,1 → прямая 2,1; обратная 1,9; центральная ровно 2,0.
- [Решатель ОДУ первого порядка (разделение переменных)](https://elysiatools.com/ru/tools/first-order-ode-solver): Решает dy/dx = g(x)·h(y) методом разделения переменных: разделяем, интегрируем почленно, получаем H(y) = G(x) + C и, если возможно, выражаем y = f(x). Поддерживаются одночленные h(y) (y, y^n, e^(ky), ky+m) и квадратичные многочлены, раскладываемые на простые дроби (например, логистическое y(1−y)); при начальном условии y(x₀)=y₀ вычисляется C и проверяется решение равновесия. Пример: dy/dx = 2x·y → y = e^(x²+C).
- [Конструктор Симуляций Монте-Карло](https://elysiatools.com/ru/tools/monte-carlo-simulation-builder): Задайте входные распределения (нормальное/равномерное/логнормальное/треугольное), напишите формулу, выполните тысячи испытаний и получите гистограмму с доверительными интервалами.
- [Калькулятор метода Ньютона-Рафсона](https://elysiatools.com/ru/tools/newton-raphson-root-finder): Решает f(x) = 0 итерацией Ньютона-Рафсона x_{k+1} = x_k − f(x_k)/f'(x_k): производную можно задать аналитически (если оставить пустым, используется центральная разность), выводятся таблица итераций (x_k и f(x_k)), критерий останова (|f| < допуск или |Δx| < допуск·max(1,|x|)), число итераций и итоговое |f(корень)|. Классика: x²−2 из x₀=1 сходится за 4 шага к √2 ≈ 1.4142135624; cos(x)−x сходится к числу Дотти 0.7390851332. Нулевая производная, расходящиеся шаги или превышение лимита итераций сообщаются явно.
- [Интегрирование по формуле Симпсона (∫f(x)dx)](https://elysiatools.com/ru/tools/numerical-integration-simpson): Вычисляет ∫ₐᵇ f(x)dx составной формулой Симпсона 1/3 (n чётное): S = h/3·(f(a) + 4Σнечёт. узлов + 2Σчёт. внутр. узлов + f(b)), погрешность O(h⁴), точна для многочленов степени ≤ 3. Таблица по узлам, оценка и необязательное сравнение с точным значением. Примеры: ∫₀¹x²dx при n=4 даёт 0,333333 (точно!); ∫₀¹e^(−x²)dx (нет элементарной первообразной) при n=10 даёт 0,746825.
- [Интегрирование методом трапеций (∫f(x)dx)](https://elysiatools.com/ru/tools/numerical-integration-trapezoid): Вычисляет ∫ₐᵇ f(x)dx составным методом трапеций: T = h/2·(f(a) + 2Σf(xᵢ) + f(b)), с таблицей по узлам, оценкой интеграла и необязательным сравнением с точным значением и абсолютной погрешностью; погрешность O(h²) (точен для линейных). Пример: ∫₀¹x²dx при n=4 даёт 0,34375 против точного 1/3, ошибка 0,010417.
- [Численный решатель Рунге—Кутты 4-го порядка (RK4)](https://elysiatools.com/ru/tools/runge-kutta-rk4-solver): Решает dy/dx = f(x,y), y(x₀)=y₀ классическим методом Рунге—Кутты 4-го порядка: на каждом шаге вычисляются четыре наклона k1–k4 и y_{n+1} = y_n + h/6·(k1+2k2+2k3+k4); глобальная погрешность O(h⁴) — при уменьшении шага вдвое ошибка падает примерно в 16 раз. Выводит пошаговую таблицу, значения k1–k4 первых шагов и конечную оценку; необязательное точное решение y(x) добавляет столбец ошибки. Пример: dy/dx = y, y(0)=1, h=0,1 → y(1) ≈ 2,718282, практически e.

## Примеры

- [Примеры Обработки Изображений Android Java](https://elysiatools.com/ru/samples/android-image-processing-java): Примеры обработки изображений Android Java включая чтение/сохранение, масштабирование и преобразование формата
- [Примеры Обработки Изображений Android Kotlin](https://elysiatools.com/ru/samples/android-image-processing-kotlin): Примеры обработки изображений Android Kotlin включая чтение/сохранение, масштабирование и преобразование формата
- [Примеры Обработки Изображений Web Python](https://elysiatools.com/ru/samples/web-image-processing-python): Примеры обработки изображений Web Python используя PIL/Pillow включая чтение, сохранение, изменение размера и преобразование формата
- [Примеры Обработки Изображений Web Rust](https://elysiatools.com/ru/samples/web-image-processing-rust): Примеры обработки изображений Web Rust включая чтение/запись, масштабирование и преобразование форматов