# Калькулятор интеграла свёртки (численный)

Численно вычисляет свёртку двух сигналов (f*g)(t) = ∫ f(τ)g(t−τ)dτ: каузальный режим (оба сигнала нулевые при t<0, интеграл по [max(τmin,0), min(τmax,t)] — подходит для произведений в области Лапласа) и режим прямого окна (интеграл по всему [τmin, τmax] — подходит для двусторонних сигналов вроде гауссиан), составной метод Симпсона (по умолчанию 2000 интервалов). Классика: e^(−t)*e^(−2t) = e^(−t)−e^(−2t), при t=1 равно 0.2325; свёртка двух гауссиан — снова гауссиана √(π/2)·e^(−t²/2).

> Каноническая страница: https://elysiatools.com/ru/tools/convolution-integral-calculator

- **Категория:** Math & Numbers

- **Ключевые слова:** свёртка, интеграл свёртки, обработка сигналов, линейные системы, импульсная характеристика, метод симпсона, численное интегрирование, произведение лапласа, гауссова свёртка, матанализ

## Обзор

Численный калькулятор интеграла свёртки вычисляет значение (f*g)(t) = ∫ f(τ)g(t−τ)dτ для произвольных непрерывных функций с использованием составного метода Симпсона. Инструмент поддерживает каузальный режим для односторонних сигналов и режим прямого окна для двусторонних функций с расчётом до 8 точек t одновременно.

## Входные данные

- **Выражение f(τ) (переменная x)** (text): First signal, written in the variable x. Supports + - * / ^, parentheses, and functions like exp, sin, cos, sqrt, ln.
- **Выражение g(τ) (переменная x)** (text): Second signal, written in the variable x (it is evaluated at t − τ inside the integral).
- **Режим** (select)
- **Начало окна τmin** (number): Lower integration bound.
- **Конец окна τmax** (number): Upper integration bound.
- **Выходные значения t (через запятую)** (text): 1–8 evaluation points t at which (f*g)(t) is reported.
- **Интервалы Симпсона** (number): Number of Simpson subintervals per integral (even, 100–20000).
- **Знаков после запятой** (number)

## Когда использовать

- Для анализа отклика линейных стационарных (LTI) систем на заданный входной сигнал по известной импульсной характеристике.
- Для численной проверки аналитических вычислений свёртки экспоненциальных, гармонических или гауссовых сигналов.
- При исследовании произведений изображений в преобразовании Лапласа или Фурье без необходимости брать интегралы вручную.

## Как это работает

- Задайте аналитические выражения для сигналов f(τ) и g(τ) через переменную x, используя стандартные математические функции (exp, sin, cos, sqrt, ln).
- Выберите режим интегрирования: каузальный (интеграл по отрезку от 0 до t для сигналов, равных нулю при t < 0) или режим прямого окна для двусторонних функций с пределами τmin и τmax.
- Укажите требуемые контрольные точки времени t через запятую (до 8 значений), число интервалов разбиения по формуле Симпсона и количество десятичных знаков.
- Калькулятор выполняет численное интегрирование составным методом Симпсона для каждой указанной точки t и выводит итоговые численные значения свёртки.

## Сценарии использования

- Расчёт переходных процессов в электрических цепях и моделирование реакции RC/RL-фильтров на ступенчатые и экспоненциальные воздействия.
- Сглаживание и фильтрация сигналов с помощью свёртки с гауссовым ядром в задачах цифровой обработки сигналов.
- Обучение и проверка студенческих расчётно-графических работ по курсам теории сигналов, ТАУ и математического анализа.

## Частые вопросы

### Какую переменную использовать в формулах функций f и g?

В полях ввода всегда используйте переменную x. При вычислении алгоритм автоматически подставляет x = τ для f и x = t − τ для g.

### Чем каузальный режим отличается от режима прямого окна?

В каузальном режиме сигналы считаются нулевыми при t < 0, поэтому пределы интегрирования автоматически сужаются до [max(τmin, 0), min(τmax, t)]. Прямое окно интегрирует строго от τmin до τmax.

### Сколько интервалов Симпсона рекомендуется задавать?

По умолчанию используется 2000 интервалов, что обеспечивает высокую точность для большинства гладких функций; допустимый диапазон от 100 до 20000.

### Сколько значений времени t можно рассчитать за один раз?

Можно передать от 1 до 8 значений t, перечислив их через запятую в соответствующем поле ввода.

### Какие математические функции поддерживаются?

Поддерживаются базовые арифметические операторы (+, -, *, /, ^), скобки, а также функции exp, sin, cos, tan, sqrt, ln и abs.

## Связанные инструменты

- [Численный решатель методом Эйлера (ОДУ первого порядка)](https://elysiatools.com/ru/tools/euler-method-solver): Решает задачу Коши dy/dx = f(x,y), y(x₀)=y₀ явным методом Эйлера: y_{n+1} = y_n + h·f(x_n, y_n), с пошаговой таблицей и конечной оценкой. Необязательное точное решение y(x) добавляет столбец ошибки, наглядно показывая глобальную погрешность O(h) метода первого порядка. Пример: dy/dx = y, y(0)=1, h=0,1 → y(1) ≈ 1,1¹⁰ = 2,593742 против e = 2,718282 (ошибка 0,124539).
- [Калькулятор численного дифференцирования (прямые/обратные/центральные разности)](https://elysiatools.com/ru/tools/numerical-differentiation): Приближает f′(x₀) тремя конечными разностями: прямой (f(x₀+h)−f(x₀))/h, обратной (f(x₀)−f(x₀−h))/h и центральной (f(x₀+h)−f(x₀−h))/(2h), плюс центральная вторая производная. Необязательная точная производная даёт абсолютную погрешность каждого метода и показывает контраст O(h) и O(h²). Пример: f=x², x₀=1, h=0,1 → прямая 2,1; обратная 1,9; центральная ровно 2,0.
- [Калькулятор межквартильного размаха](https://elysiatools.com/ru/tools/interquartile-range-calculator): Вычисляет Q1, Q3, IQR и необязательные границы 1.5 x IQR
- [Калькулятор квартилей](https://elysiatools.com/ru/tools/quartile-calculator): Вычисляет Q1, медиану, Q3, межквартильный размах и необязательные границы выбросов
- [Решатель ОДУ первого порядка (разделение переменных)](https://elysiatools.com/ru/tools/first-order-ode-solver): Решает dy/dx = g(x)·h(y) методом разделения переменных: разделяем, интегрируем почленно, получаем H(y) = G(x) + C и, если возможно, выражаем y = f(x). Поддерживаются одночленные h(y) (y, y^n, e^(ky), ky+m) и квадратичные многочлены, раскладываемые на простые дроби (например, логистическое y(1−y)); при начальном условии y(x₀)=y₀ вычисляется C и проверяется решение равновесия. Пример: dy/dx = 2x·y → y = e^(x²+C).
- [Конструктор Симуляций Монте-Карло](https://elysiatools.com/ru/tools/monte-carlo-simulation-builder): Задайте входные распределения (нормальное/равномерное/логнормальное/треугольное), напишите формулу, выполните тысячи испытаний и получите гистограмму с доверительными интервалами.
- [Калькулятор метода Ньютона-Рафсона](https://elysiatools.com/ru/tools/newton-raphson-root-finder): Решает f(x) = 0 итерацией Ньютона-Рафсона x_{k+1} = x_k − f(x_k)/f'(x_k): производную можно задать аналитически (если оставить пустым, используется центральная разность), выводятся таблица итераций (x_k и f(x_k)), критерий останова (|f| < допуск или |Δx| < допуск·max(1,|x|)), число итераций и итоговое |f(корень)|. Классика: x²−2 из x₀=1 сходится за 4 шага к √2 ≈ 1.4142135624; cos(x)−x сходится к числу Дотти 0.7390851332. Нулевая производная, расходящиеся шаги или превышение лимита итераций сообщаются явно.
- [Интегрирование по формуле Симпсона (∫f(x)dx)](https://elysiatools.com/ru/tools/numerical-integration-simpson): Вычисляет ∫ₐᵇ f(x)dx составной формулой Симпсона 1/3 (n чётное): S = h/3·(f(a) + 4Σнечёт. узлов + 2Σчёт. внутр. узлов + f(b)), погрешность O(h⁴), точна для многочленов степени ≤ 3. Таблица по узлам, оценка и необязательное сравнение с точным значением. Примеры: ∫₀¹x²dx при n=4 даёт 0,333333 (точно!); ∫₀¹e^(−x²)dx (нет элементарной первообразной) при n=10 даёт 0,746825.

## Примеры

- [Примеры Обработки Изображений Android Java](https://elysiatools.com/ru/samples/android-image-processing-java): Примеры обработки изображений Android Java включая чтение/сохранение, масштабирование и преобразование формата
- [Примеры Обработки Изображений Android Kotlin](https://elysiatools.com/ru/samples/android-image-processing-kotlin): Примеры обработки изображений Android Kotlin включая чтение/сохранение, масштабирование и преобразование формата
- [Примеры Обработки Изображений Web Python](https://elysiatools.com/ru/samples/web-image-processing-python): Примеры обработки изображений Web Python используя PIL/Pillow включая чтение, сохранение, изменение размера и преобразование формата
- [Примеры Обработки Изображений Web Rust](https://elysiatools.com/ru/samples/web-image-processing-rust): Примеры обработки изображений Web Rust включая чтение/запись, масштабирование и преобразование форматов