# Cadeias de Markov e Distribuições Estacionárias

Explore o fluxo de probabilidade, convergência ao equilíbrio e a matemática dos processos de Markov

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- **Categoria:** Math

## Visão geral

Comprehensive interactive visualization of Markov chains and stationary distributions with probability flow animation, convergence analysis, and mathematical properties. Features graph visualization with interactive state nodes (3-5 states), directed edges with transition probabilities, draggable node positioning, and real-time probability flow particles. Transition matrix editor with stochastic validation (rows sum to 1.0), preset matrices (regular chain, absorbing states, periodic chain, random walk, cyclic), and editable probability values. Probability distribution view showing current distribution p_t with animated bars, stationary distribution π overlay, and heatmap coloring on nodes. Convergence visualization with total variation distance chart δ(t) = 0.5 × Σ|p_t(i) - π(i)|, iteration counter, and mixing time estimate. Initial distribution controls (uniform, single state, random, custom) with click-to-concentrate on nodes. Mathematical analysis panel computing stationary distribution via power iteration, eigenvalues of transition matrix P (λ₁=1 guaranteed), chain properties (irreducible, aperiodic, absorbing states, spectral gap), and convergence rate based on second-largest eigenvalue magnitude. Educational content covers Markov property (memoryless), transition formula p_{t+1} = p_tP, stationary equation π = πP, Perron-Frobenius theorem, convergence conditions (regular/periodic/reducible chains), mixing time, spectral gap, and detailed balance. Real-world applications: PageRank algorithm, random walks on graphs, MCMC sampling methods, Hidden Markov Models, queueing theory, and board games analysis. Step-by-step execution with auto-run animation, adjustable speed, and keyboard shortcuts (Space: step, R: run, Esc: reset). Multi-language support (zh, en, es, fr, de, ru, pt).

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