# Verificador de primalidade pelo teorema de Wilson

Teste de primalidade pelo teorema de Wilson: (n−1)! ≡ −1 (mod n) se e somente se n é primo. O resíduo (n−1)! mod n é acumulado termo a termo (n ≤ 10⁷), contrastado com um Miller–Rabin determinístico e, para n composto, verificado contra a lei fatorial (para n > 4, (n−1)! ≡ 0 (mod n), sendo n = 4 a única exceção). Pode mostrar a sequência de produtos parciais k! mod n (n ≤ 200).

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- **Categoria:** Math & Numbers

- **Palavras-chave:** teorema de wilson, teste de primalidade, fatorial, aritmética modular, miller-rabin, teoria dos números, verificador de primos

## Visão geral

O Verificador de Primalidade pelo Teorema de Wilson determina se um número inteiro n é primo avaliando a congruência (n−1)! ≡ −1 (mod n). A ferramenta calcula o resíduo fatorial modular passo a passo para números de até 10⁷, cruza o resultado com o teste determinístico de Miller–Rabin e verifica a lei fatorial para números compostos, oferecendo ainda o rastreamento dos produtos parciais para n ≤ 200.

## Entradas

- **Número n** (text): 2 ≤ n ≤ 10⁷ (one factorial-modulo pass).
- **Nível de detalhe** (select)

## Quando usar

- Quando você precisa verificar didaticamente a primalidade de um número usando a congruência clássica de Wilson.
- Ao estudar ou demonstrar a lei fatorial para números compostos onde (n−1)! ≡ 0 (mod n) para n > 4.
- Para inspecionar a sequência detalhada dos restos fatoriais parciais k! mod n em valores de n até 200.

## Como funciona

- Você insere um número inteiro n no intervalo de 2 até 10⁷ e seleciona o nível de detalhe desejado.
- O algoritmo acumula o produto fatorial (n−1)! módulo n termo a termo para evitar estouro de memória mantendo precisão exata.
- O resultado é comparado com n − 1 (equivalente a −1 mod n) e validado com uma verificação cruzada pelo método determinístico de Miller–Rabin.
- Se a opção de rastreamento estiver ativa (para n ≤ 200), a ferramenta exibe a lista completa de produtos intermediários k! mod n de k = 1 até n−1.

## Casos de uso

- Aulas de teoria dos números e criptografia para demonstrar congruências modulares e propriedades dos fatoriais.
- Validação de exercícios acadêmicos que exigem o cálculo do resíduo de Wilson e verificação cruzada.
- Análise do comportamento cíclico e inversos multiplicativos na sequência de produtos parciais módulo n.

## Perguntas frequentes

### O que afirma o Teorema de Wilson?

O teorema afirma que um número inteiro n > 1 é primo se, e somente se, (n−1)! ≡ −1 (mod n).

### Por que números compostos maiores que 4 resultam em 0?

Pela lei fatorial composta, se n > 4 é composto, seus fatores próprios aparecem no produto (n−1)!, fazendo com que (n−1)! seja múltiplo exato de n, logo (n−1)! mod n = 0.

### Qual é a única exceção da lei fatorial composta?

A única exceção é n = 4, onde (4−1)! = 6, e 6 mod 4 = 2 em vez de 0.

### Qual é o limite para visualizar o rastro de produtos parciais?

A exibição da sequência de produtos parciais k! mod n está disponível para números n até 200.

### Por que o teste de Wilson é pouco usado para números gigantes?

O cálculo de (n−1)! exige O(n) multiplicações modulares, tornando-o computacionalmente inviável para números extremamente grandes em comparação a testes como Miller–Rabin.

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