# Peneira de Eratóstenes (gerador de primos)

Gera todos os primos até n (≤ 10⁷) com a peneira de Eratóstenes, opcionalmente restritos ao intervalo [m, n]. A saída explica a mecânica: primos de base (p² ≤ n), número de operações de riscagem e compostos reais; a lista mostra até 200 primos, mas as contagens permanecem exatas. Clássico: com n = 100, as bases 2, 3, 5, 7 riscau 74 compostos e deixa 25 primos; π(1000) = 168.

> Página canônica: https://elysiatools.com/pt/tools/sieve-of-eratosthenes

- **Categoria:** Math & Numbers

- **Palavras-chave:** peneira de eratóstenes, números primos, lista de primos, gerador de primos, contagem de primos, compostos, teoria dos números

## Visão geral

A Peneira de Eratóstenes é uma ferramenta matemática para encontrar números primos até um limite superior n (até 10⁷) ou dentro de um intervalo [m, n]. Além de listar os primos encontrados, o gerador detalha a mecânica do algoritmo, exibindo os primos de base (onde p² ≤ n), a contagem de operações de riscagem, o total de números compostos eliminados e a contagem exata da função de contagem de primos π(n).

## Entradas

- **Limite superior n** (text): Sieve bound, 2 ≤ n ≤ 10⁷ (byte-sieve limit).
- **Limite inferior m (opcional)** (text): Only list primes ≥ m; leave empty to enumerate from 2.

## Quando usar

- Quando você precisa gerar uma lista de números primos até um determinado limite superior ou dentro de um intervalo específico.
- Para verificar a quantidade exata de números primos π(n) e analisar a eficiência de eliminação de números compostos.
- Durante estudos de teoria dos números, ciência da computação ou criptografia para entender a execução passo a passo da Peneira de Eratóstenes.

## Como funciona

- Informe o limite superior n (onde 2 ≤ n ≤ 10⁷) e, se desejar, o limite inferior opcional m.
- O algoritmo identifica todos os primos de base tais que p² ≤ n e risca progressivamente os múltiplos compostos de cada um.
- O sistema calcula o total de operações de riscagem, os compostos únicos marcados e a contagem precisa de primos no intervalo.
- A ferramenta exibe a explicação mecânica detalhada e lista até 200 números primos encontrados.

## Casos de uso

- Geração de listas de números primos para exercícios didáticos de matemática e teoria dos números.
- Obtenção de números primos dentro de faixas elevadas para testes de algoritmos e problemas de maratona de programação.
- Análise comparativa entre o número de operações de eliminação da peneira e a quantidade de compostos reais.

## Perguntas frequentes

### Qual é o valor máximo suportado para o limite superior n?

O limite superior suportado é n ≤ 10⁷ (10 milhões).

### Como funciona o filtro pelo limite inferior m?

A peneira calcula todos os primos até n, mas exibe na lista de saída e restringe o resumo apenas aos primos contidos no intervalo [m, n].

### Por que a ferramenta exibe apenas até 200 primos na lista?

Para manter a resposta ágil e legível no navegador, a listagem textual é limitada aos primeiros 200 primos, embora a contagem total π(n) permaneça sempre exata.

### O que são os 'primos de base' exibidos no resultado?

São os números primos cujo quadrado é menor ou igual ao limite n (p² ≤ n), sendo os únicos necessários para riscar todos os compostos até n.

### O que representa a função π(n) na saída?

A função π(n) indica a quantidade total exata de números primos menores ou iguais a n.

## Ferramentas relacionadas

- [Gerador de permutações / combinações / subconjuntos (com repetições)](https://elysiatools.com/pt/tools/combinatorial-generation): Gera permutações, combinações e subconjuntos de um multiconjunto com deduplicação automática em ordem lexicográfica: as permutações usam next_permutation com contagem exata n!/Π(mᵢ!); as combinações dão as k-subseções distintas do multiconjunto, contadas como coeficiente de x^k em Π(1+x+…+x^mᵢ) (C(n,k) se todos os elementos forem distintos); os subconjuntos enumeram cada subseção com contagem Π(mᵢ+1) (2ⁿ se todos distintos), incluindo o vazio. Até 12 elementos, exibição limitada a 200 entradas mas contagem sempre exata; o modo combinações exige 1 ≤ k ≤ n. Clássicos: permutações de \[A, A, B\] → 3!/2! = 3 (AAB, ABA, BAA); subconjuntos de \[A, A, B\] → (2+1)(1+1) = 6.
- [Calculadora de Corrente de Curto-Circuito (IEC 60909)](https://elysiatools.com/pt/tools/short-circuit-current-calculator): Estima a corrente de curto-circuito trifásica simétrica (IEC 60909, falta remota): I"_k = c·U_n/(√3·|Z|), i_p = κ·√2·I"_k. Impedância = transformador + linha; κ = 1,02 + 0,98·e^(−3R/X).
- [Calculadora da função de Carmichael λ(n)](https://elysiatools.com/pt/tools/carmichael-function): Calcula a função de Carmichael λ(n) — o expoente do grupo multiplicativo (Z/nZ)*, ou seja, o menor k com a^k ≡ 1 (mod n) para todo a coprimo com n. Construída a partir da fatoração prima (λ(2)=1, λ(4)=2, λ(2^k)=2^(k−2) para k ≥ 3, λ(p^k)=φ(p^k) em potências ímpares, depois mmc), junto com φ(n), a existência de raiz primitiva e o critério de Korselt para detectar números de Carmichael. Clássicos: λ(561) = 80 (561 é o menor número de Carmichael) e λ(8) = 2 < φ(8) = 4.
- [Teorema chinês do resto (sistema de congruências)](https://elysiatools.com/pt/tools/chinese-remainder-theorem): Resolve o sistema x ≡ rᵢ (mod mᵢ) (2–20 equações) pelo teorema chinês do resto generalizado com fusão aos pares: módulos coprimos → módulo combinado igual ao produto; não coprimos porém compatíveis → MMC; sistema incompatível → ausência de solução relatada claramente. Cada congruência é verificada contra a solução final. Clássico: x ≡ 2 (mod 3), x ≡ 3 (mod 5), x ≡ 2 (mod 7) → x = 23 (mod 105).
- [Calculadora da função totiente de Euler φ(n)](https://elysiatools.com/pt/tools/euler-totient-function): Calcula a função totiente de Euler φ(n) — quantos inteiros em \[1, n\] são coprimos com n. Fatora n por divisão de tentativa e avalia exatamente φ(n) = n · Π(1 − 1/p) (n ≤ 10¹²), com opção de listar os primeiros 60 coprimos e o lembrete do teorema de Euler a^φ(n) ≡ 1 (mod n). Clássicos: φ(36) = 12 (36 = 2² × 3²); se n for primo, φ(n) = n − 1, p. ex. φ(97) = 96.
- [Conversor de Fração Decimal](https://elysiatools.com/pt/tools/fraction-decimal-converter): Converta entre frações e decimais com suporte para números mistos, frações impróprias e vários formatos decimais
- [Resolvedor de jogos de soma zero (ponto de sela / programação linear)](https://elysiatools.com/pt/tools/game-theory-zero-sum): Resolve jogos de soma zero 2–6 × 2–6 (a matriz de pagamentos pertence ao jogador linha, o maximizador; o jogador coluna paga): primeiro o teste de ponto de sela (se o maximin dos mínimos das linhas iguala o minimax dos máximos das colunas, há equilíbrio em estratégias puras e todas as células de sela são listadas); caso contrário a matriz é deslocada para que todas as entradas sejam ≥ 1 e um simplex monofásico (base de folgas, regra de Bland) resolve max Σz s.a. Bz ≤ 1: o primal dá a estratégia mista q do jogador coluna e os preços duais de sombra são exatamente a solução y do jogador linha; o valor é deslocado de volta e x, q, v são verificados numericamente (xᵀA ≥ v, Aq ≤ v) junto com a igualdade minimax. Clássico: cara ou coroa \[\[1,-1\],\[-1,1\]\] → valor 0 com misturas 0.5/0.5.
- [Calculadora de transformada inversa de Laplace (frações parciais)](https://elysiatools.com/pt/tools/inverse-laplace-calculator): Calcula a transformada inversa de Laplace de F(s) = N(s)/D(s) (fração própria, denominador de grau ≤ 6): acha as raízes do denominador agrupadas por multiplicidade e pares conjugados, resolve o sistema linear de coeficientes para a decomposição em frações parciais e inverte termo a termo com os pares padrão (A/(s−r)→Ae^(rt), A/(s−r)^j→At^(j−1)e^(rt)/(j−1)!, (Bs+C)/((s−α)²+β²)→e^(αt)\[Bcos(βt)+…sin(βt)\]). Clássicos: 1/(s²+3s+2) → e^(−t)−e^(−2t); (3s+5)/(s²+4) → 3cos(2t)+2,5sin(2t).

## Exemplos

- [Exemplos de Processamento de Imagem Web Python](https://elysiatools.com/pt/samples/web-image-processing-python): Exemplos de processamento de imagem Web Python usando PIL/Pillow incluindo leitura, salvamento, redimensionamento e conversão de formato
- [Exemplos de Processamento de Imagem Android Java](https://elysiatools.com/pt/samples/android-image-processing-java): Exemplos de processamento de imagem Android Java incluindo leitura/escrita, dimensionamento e conversão de formato
- [Exemplos de Processamento de Imagem Android Kotlin](https://elysiatools.com/pt/samples/android-image-processing-kotlin): Exemplos de processamento de imagem Android Kotlin incluindo leitura/escrita, dimensionamento e conversão de formato
- [Exemplos de Processamento de Imagem Web Rust](https://elysiatools.com/pt/samples/web-image-processing-rust): Exemplos de processamento de imagem Web Rust incluindo leitura/gravação, redimensionamento e conversão de formato