# Solucionador de EDO linear de segunda ordem (equação característica)

Resolve a·y'' + b·y' + c·y = f(x): raízes da equação característica ar² + br + c = 0, solução homogênea classificada pelo discriminante (raízes reais distintas / dupla / complexas conjugadas) e solução particular por coeficientes a determinar com ressonância (se k é raiz, o termo de prova é multiplicado por x^m). Aceita constantes, polinômios, A·e^(kx) e A·sin(kx)+B·cos(kx); com y(x₀) e y'(x₀), um sistema 2×2 determina C1 e C2. Clássico: y''−3y'+2y=0, y(0)=1, y'(0)=0 → y = −e^(2x)+2e^x.

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- **Categoria:** Math & Numbers

- **Palavras-chave:** edo de segunda ordem, equação característica, coeficientes a determinar, solução homogênea, ressonância, oscilador amortecido, problema de valor inicial, equações diferenciais, cálculo

## Visão geral

O Solucionador de EDO Linear de Segunda Ordem calcula a solução geral e particular de equações diferenciais ordinárias da forma a·y'' + b·y' + c·y = f(x). A ferramenta determina as raízes da equação característica, classifica a solução homogênea conforme o discriminante, aplica o método dos coeficientes a determinar com ajuste de ressonância e calcula as constantes C1 e C2 a partir de problemas de valor inicial (PVI).

## Entradas

- **Coeficiente a (y'')** (number): Coefficient of y'' (must be nonzero).
- **Coeficiente b (y')** (number): Coefficient of y'.
- **Coeficiente c (y)** (number): Coefficient of y.
- **Termo f(x)** (select)
- **F (termo constante)** (number): Used when forcing = Constant.
- **Coeficientes do polinômio (constante primeiro)** (text): Comma-separated coefficients, constant term first (degree ≤ 5). Used when forcing = Polynomial.
- **A (amplitude)** (number): Used when forcing = Exponential.
- **k (taxa)** (number): Used when forcing = Exponential.
- **A (amplitude do seno)** (number): Used when forcing = Sine/cosine.
- **B (amplitude do cosseno)** (number): Used when forcing = Sine/cosine.
- **k (frequência angular)** (number): Used when forcing = Sine/cosine.
- **x₀ (x inicial)** (number): Initial point (used with y₀ and y'₀).
- **y₀ = y(x₀)** (number): Provide together with y'₀ to pin down C1, C2.
- **y'₀ = y'(x₀)** (number): Initial derivative (both or neither of y₀, y'₀).

## Quando usar

- Ao resolver equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes em disciplinas de cálculo, física ou engenharia.
- Quando for necessário modelar o comportamento dinâmico de osciladores harmônicos amortecidos ou forçados com fenômenos de ressonância.
- Para determinar a trajetória exata de um sistema dinâmico a partir das condições iniciais y(x₀) e y'(x₀).

## Como funciona

- Insira os coeficientes a, b e c da equação diferencial e escolha o tipo de termo forçador f(x) (nulo, constante, polinômio, exponencial ou senoidal).
- O algoritmo resolve a equação característica ar² + br + c = 0 e classifica a solução homogênea yh entre raízes reais distintas, raiz dupla ou raízes complexas conjugadas.
- Se houver termo forçador f(x), o método dos coeficientes a determinar calcula a solução particular yp, aplicando multiplicação por x^m caso ocorra ressonância com as raízes da homogênea.
- Ao preencher as condições iniciais x₀, y₀ e y'₀, um sistema linear 2×2 é resolvido para determinar os valores numéricos exatos de C1 e C2.

## Casos de uso

- Análise de circuitos elétricos RLC série e paralelo excitados por fontes contínuas ou alternadas.
- Simulação mecânica de sistemas massa-mola-amortecedor sob diferentes regimes de amortecimento e forças externas.
- Validação analítica de problemas de valor inicial (PVI) e listas de exercícios acadêmicos de equações diferenciais.

## Perguntas frequentes

### Como o solucionador lida com raízes complexas na equação característica?

Quando o discriminante é negativo (Δ < 0), as raízes assumem a forma α ± iβ, gerando a solução homogênea yh = e^(αx)·(C1·cos(βx) + C2·sin(βx)).

### O que acontece se houver ressonância entre f(x) e a solução homogênea?

O termo de teste da solução particular é automaticamente multiplicado por x (ou x² em caso de multiplicidade) para manter a independência linear em relação a yh.

### Quais tipos de termo forçador f(x) são suportados?

A ferramenta aceita equações homogêneas f(x)=0, constantes F, polinômios de grau até 5, exponenciais A·e^(kx) e funções senoidais A·sin(kx) + B·cos(kx).

### É obrigatório fornecer as condições iniciais y₀ e y'₀?

Não. Se as condições iniciais não forem preenchidas, a ferramenta retorna a solução geral contendo as constantes arbitrárias C1 e C2.

### O coeficiente 'a' pode ser zero?

Não. O coeficiente 'a' acompanha a segunda derivada y'' e deve ser diferente de zero para que a equação seja de segunda ordem.

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