# Calculadora de filas M/M/1

Calcula as métricas de regime permanente da fila M/M/1: chegadas de Poisson (taxa λ), serviço exponencial (taxa μ), FCFS. Exige λ < μ; caso contrário o sistema é instável e a entrada é rejeitada. Reporta a utilização ρ, a probabilidade de sistema vazio P0, os números médios L (no sistema) e Lq (na fila), os tempos médios W e Wq, a probabilidade de esperar ρ e as probabilidades de estado P(n) = (1−ρ)ρⁿ (n = 0…5), com verificação cruzada pela lei de Little L = λW, Lq = λWq. Clássico: λ = 4/h, μ = 6/h → ρ = 0.6667, L = 2, Lq = 1.3333, W = 0.5, Wq = 0.3333.

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- **Categoria:** Math & Numbers

- **Palavras-chave:** teoria das filas, mm1, m/m/1, fila, lei de little, utilização, chegadas poisson, serviço exponencial, pesquisa operacional

## Visão geral

A Calculadora de filas M/M/1 computa métricas de regime permanente para sistemas de fila única com chegadas de Poisson, tempo de atendimento exponencial e disciplina FCFS. A ferramenta calcula a utilização do servidor (ρ), a probabilidade de ociosidade (P0), o número médio de entidades no sistema e na fila (L, Lq), os tempos médios de permanência e espera (W, Wq), as probabilidades de estado P(n) e a validação cruzada pela Lei de Little.

## Entradas

- **Taxa de chegada λ (por unidade de tempo)** (number): Average arrivals per time unit (Poisson process). Must be below the service rate μ.
- **Taxa de serviço μ (por unidade de tempo)** (number): Average services per time unit (exponential distribution). Must exceed the arrival rate λ.
- **Casas decimais** (number)

## Quando usar

- Dimensionar postos de trabalho, caixas ou servidores com fila única e atendimento individual.
- Avaliar o impacto do aumento da taxa de chegadas no tempo de espera e no tamanho da fila.
- Validar cálculos teóricos e exercícios acadêmicos de Pesquisa Operacional e Teoria das Filas.

## Como funciona

- Insira a taxa média de chegadas (λ) e a taxa média de serviço (μ) expressas na mesma unidade de tempo.
- O sistema valida a condição de estabilidade (λ < μ), rejeitando entradas onde a chegada é igual ou superior ao atendimento.
- A ferramenta calcula a ocupação ρ, os valores médios de L, Lq, W, Wq, as probabilidades de estado P(0) a P(5) e a conferência pela Lei de Little.

## Casos de uso

- Planejamento de capacidade em guichês de atendimento presencial e caixas rápidos.
- Dimensionamento de filas de processamento assíncrono em servidores de tarefa única.
- Análise de tempo de permanência em pontos de triagem ou controle de acesso.

## Perguntas frequentes

### O que significa a notação M/M/1?

Indica chegadas Markovianas/Poisson (M), tempos de serviço exponenciais Markovianos (M) e um único servidor (1).

### Por que o sistema exige que λ seja menor que μ?

Se a taxa de chegada for maior ou igual à de serviço (λ ≥ μ), a fila cresce indefinidamente e o sistema se torna instável.

### Qual é o significado da utilização ρ?

Representa a proporção de tempo em que o servidor está ocupado atendendo clientes, calculada por λ/μ.

### Qual a diferença entre W e Wq?

W é o tempo total médio gasto no sistema (espera + atendimento), enquanto Wq é o tempo médio gasto exclusivamente na fila.

### As taxas de chegada e serviço precisam estar na mesma unidade temporal?

Sim, ambas devem utilizar a mesma base temporal, como clientes por hora, requisições por minuto ou tarefas por segundo.

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