# Verificador de resíduo quadrático (símbolos de Legendre/Jacobi)

Calcula o símbolo de Jacobi (a/n) (n ímpar até 10¹⁸; Legendre se n for primo): módulo um primo, a^((n−1)/2) ≡ 1 indica resíduo quadrático e Tonelli–Shanks (ou a fórmula direta se p ≡ 3 (mod 4)) fornece as raízes ±√a; o símbolo −1 certifica que a NÃO é resíduo. Com módulo composto o símbolo é só necessário: −1 prova não-resíduo e +1 é inconclusivo (resolvido por força bruta quando n ≤ 10⁵). Clássico: 10 é resíduo quadrático mod 13 com raízes ±6.

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- **Categoria:** Math & Numbers

- **Palavras-chave:** resíduo quadrático, símbolo de legendre, símbolo de jacobi, tonelli-shanks, raiz quadrada modular, critério de euler, miller-rabin, teoria dos números

## Visão geral

O Verificador de Resíduo Quadrático calcula os símbolos de Legendre e Jacobi para determinar se um número inteiro é um resíduo quadrático módulo n. A ferramenta executa o teste de primalidade determinístico de Miller–Rabin no módulo, avalia o critério de Euler e calcula as raízes quadradas modulares pelo algoritmo de Tonelli–Shanks quando o módulo é primo.

## Entradas

- **Valor a** (text): The value being tested for squareness; reduced mod n first (up to 10⁵¹²).
- **Módulo n (ímpar)** (text): Odd modulus, 3 ≤ n ≤ 10¹⁸ (primality tested with deterministic Miller–Rabin).
- **Quando n for primo, resolver x² ≡ a (mod n)** (checkbox): Run Tonelli–Shanks and print the square roots when they exist.

## Quando usar

- Determinar se uma congruência quadrática x² ≡ a (mod n) possui solução inteira.
- Calcular raízes quadradas modulares para algoritmos criptográficos ou problemas de teoria dos números.
- Avaliar símbolos de Legendre ou Jacobi para números com módulos ímpares de até 10¹⁸.

## Como funciona

- Reduz o valor 'a' módulo 'n' e testa a primalidade do módulo ímpar 'n' via Miller–Rabin determinístico.
- Calcula o símbolo de Jacobi (a/n), que corresponde ao símbolo de Legendre caso 'n' seja primo.
- Aplica o algoritmo de Tonelli–Shanks para encontrar as raízes x ≡ ±√a (mod n) quando 'n' for primo e o símbolo for +1.
- Executa busca por força bruta em módulos compostos com n ≤ 10⁵ quando o símbolo de Jacobi (+1) for inconclusivo.

## Casos de uso

- Estudo e resolução de exercícios acadêmicos de aritmética modular e teoria dos números.
- Validação manual de etapas em protocolos criptográficos baseados em resíduos quadráticos (como Rabin ou curvas elípticas).
- Verificação rápida de existência de raízes para equações quadráticas modulares.

## Perguntas frequentes

### Qual a diferença entre o símbolo de Legendre e o de Jacobi?

O símbolo de Legendre é definido estritamente para módulos primos, enquanto o símbolo de Jacobi generaliza o conceito para qualquer módulo ímpar composto.

### Um símbolo de Jacobi igual a +1 garante que o número é um resíduo quadrático?

Não. Para módulos compostos, Jacobi igual a +1 é inconclusivo; apenas o valor −1 garante que o número não é resíduo quadrático.

### Quais são os limites para os valores de entrada?

O módulo ímpar n suporta valores de 3 até 10¹⁸, enquanto o valor a aceita inteiros de até 10⁵¹².

### Como as raízes quadradas modulares são calculadas?

Para módulos primos, a ferramenta usa Tonelli–Shanks ou a fórmula direta quando p ≡ 3 (mod 4).

### A ferramenta suporta módulos pares?

Não, o módulo n deve ser um número ímpar maior ou igual a 3.

## Ferramentas relacionadas

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- [Calculadora de pureza de ácidos nucleicos (OD260/280)](https://elysiatools.com/pt/tools/od260-280-ratio): Avalia a pureza de ácidos nucleicos pela razão OD260/280: as bases absorvem no máximo a 260 nm e os aminoácidos aromáticos (e o fenol) perto de 280 nm, então A260/A280 diagnostica arraste de proteína/fenol. Valores esperados: DNA puro ≈ 1.8 (janela 1.7–2.0), RNA puro ≈ 2.0 (janela 1.8–2.2); DNA < 1.7 ou RNA < 1.8 indica contaminação por proteína/fenol/guanidina, DNA > 2.0 sugere contaminação com RNA, RNA > 2.2 aponta artefato de medição (baixa força iônica). Campo A230 opcional para a razão secundária A260/A230 (puro 2.0–2.2; abaixo disso guanidina/fenol/carboidratos/sais). Com leituras < ~0.05 a razão não é confiável. Fontes: Manchester 1995, Sambrook & Russell, Thermo Fisher T042. Apenas educação e planejamento.
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## Exemplos

- [Exemplos de Processamento de Imagem Web Python](https://elysiatools.com/pt/samples/web-image-processing-python): Exemplos de processamento de imagem Web Python usando PIL/Pillow incluindo leitura, salvamento, redimensionamento e conversão de formato
- [Exemplos de Processamento de Imagem Android Java](https://elysiatools.com/pt/samples/android-image-processing-java): Exemplos de processamento de imagem Android Java incluindo leitura/escrita, dimensionamento e conversão de formato
- [Exemplos de Processamento de Imagem Android Kotlin](https://elysiatools.com/pt/samples/android-image-processing-kotlin): Exemplos de processamento de imagem Android Kotlin incluindo leitura/escrita, dimensionamento e conversão de formato
- [Exemplos de Processamento de Imagem Web Rust](https://elysiatools.com/pt/samples/web-image-processing-rust): Exemplos de processamento de imagem Web Rust incluindo leitura/gravação, redimensionamento e conversão de formato